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Conjugación (teoría de grupos) - Wikipedia, la enciclopedia libre

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En álgebra abstracta, y más concretamente en teoría de grupos, se denomina conjugación a un tipo de acción de un grupo sobre sí mismo. Un ejemplo de este tipo de operación es la semejanza de matrices.

Sea {\displaystyle (G,\circ )} un grupo, y sea {\displaystyle g\in G} uno de sus elementos. Se denomina conjugado de {\displaystyle a} por {\displaystyle g} al elemento {\displaystyle b=g^{-1}\circ a\circ g}. Entonces se dice que los elementos {\displaystyle a} y {\displaystyle b} son conjugados.

La conjugación como relación

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En un grupo, se puede definir la relación:

{\displaystyle \forall a,b\in G:a\sim b\Leftrightarrow b=g^{-1}\circ a\circ g} para algún {\displaystyle g\in G}.

tal que {\displaystyle a} está relacionado con {\displaystyle b} precisamente si {\displaystyle a} y {\displaystyle b} son conjugados. La relación así definida es una relación de equivalencia.[1]​

Por tanto, los elementos conjugados de un elemento {\displaystyle a} forman una clase, llamada clase de conjugación de {\displaystyle a}:[2]​

{\displaystyle [a]=\{x^{-1}ax:x\in G\}}.

Como la conjugación por un elemento fijo del grupo es un isomorfismo de grupos, cada dos elementos de una misma clase de conjugación son indistinguibles desde el punto de vista de la estructura de grupo. En particular, tienen el mismo orden.

Considérese la acción de {\displaystyle G} sobre sí mismo

{\displaystyle {\begin{array}{rrcl}\phi :&G\times G&\longrightarrow &G\\&(g,a)&\mapsto &b=g^{-1}\circ a\circ g\end{array}}}

que viene dada por la conjugación sucesiva por los diferentes elementos {\displaystyle g\in G}. Bajo este punto de vista:

Conjugación de subconjuntos y subgrupos

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Dado un subconjunto {\displaystyle S\subseteq G}, se define el conjugado de {\displaystyle S} por un elemento {\displaystyle g\in G} como el subconjunto:

{\displaystyle g^{-1}Sg=\{g^{-1}\circ s\circ g:s\in S\}}

En particular, si el subconjunto original es un subgrupo {\displaystyle H\leqslant G}, entonces el conjugado de {\displaystyle H} por cualquier elemento {\displaystyle g\in G} es también un subgrupo.

  1. ↑ Artin, 2010, p. 53.
  2. ↑ Gallian, 2012, p. 409.
  • Artin, M. (2010). Algebra (2ª edición). Pearson.
  • Gallian, Joseph A. (2012). Contemporary Abstract Algebra (8ª edición). Brooks/Cole. ISBN 1-133-59970-2.