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Matriz definida positiva - Wikipedia, la enciclopedia libre

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En el álgebra lineal, una matriz definida positiva es una matriz hermitiana que en muchos aspectos es similar a un número real positivo, también puede tratarse de una matriz simétrica real cuyos menores principales son positivos (Criterio de Sylvester).

Definiciones equivalentes

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Sea M una matriz hermitiana cuadrada n × n. De ahora en adelante denotaremos la transpuesta de una matriz o vector $a$ como $a^{T}$ , y el conjugado transpuesto, $a^{*}$ . Esta matriz M se dice definida positiva si cumple con una (y por lo tanto, las demás) de las siguientes formulaciones equivalentes:

Análogamente, si M es una matriz real simétrica, se reemplaza $\mathbb {C} ^{n}$ por $\mathbb {R} ^{n}$ , y la conjugada transpuesta por la transpuesta.

Toda matriz definida positiva es invertible (su determinante es positivo), y su inversa es definida positiva.

$MN=NM$ , entonces $MN$ es también definida positiva.

Matrices definidas negativas, semidefinidas positivas e indefinidas

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La matriz hermitiana $M$ se dice:

Una matriz hermitiana se dice indefinida si no entra en ninguna de las clasificaciones anteriores.

Una matriz real M puede tener la propiedad x^TMx > 0 para todo vector real no nulo sin ser simétrica. La matriz

${\begin{bmatrix}1&1\\-1&1\end{bmatrix}}$

es un ejemplo. En general, tendremos x^TMx > 0 para todo vector real no nulo x si la matriz simétrica (M + M^T) / 2 , es definida positiva.

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Matriz definida positiva», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104.
Weisstein, Eric W. «Positive Definite Matrix». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.

Datos: Q1052034