es.wikipedia.org

Dominio de ideales principales - Wikipedia, la enciclopedia libre

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Un dominio de ideales principales (DIP) es un dominio de integridad en el que todo ideal es principal (está generado por un solo elemento). Cualquier dominio de ideales principales es también un dominio de factorización única, pero no al revés; esto es, que un dominio entero sea DFU es una condición necesaria para que sea un DIP.[1]​ En estos dominios existe siempre el concepto de máximo común divisor y el mínimo común múltiplo, hecho que no ocurre en los dominios de integridad en general. El máximo común divisor de {\displaystyle a} y {\displaystyle b} en un DIP es un elemento {\displaystyle d} del anillo tal que {\displaystyle \langle a,b\rangle =\langle d\rangle }.

Ejemplos de dominios de ideales principales:

Ejemplos de dominios íntegros que no son de ideales principales:

Sea R un dominio íntegro, las siguientes proposiciones son equivalentes:

  • R es un dominio de ideales principales.
  • Cada ideal primo de R es principal.
  • R es un dominio de factorización única y un dominio de Dedekind. (Existen DFU que no son DIP y Dominios de Dedekind que no son DIP, por ejemplo {\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]} es un dominio de Dedekind pero no un DIP).
  • Cada ideal finitamente generado de R es principal y se cumple la condición de cadena ascendente para ideales principales.
  • R admite una norma Dedekind-Hasse.(Las normas Dedekind-Hasse son una generalización de las normas admitidas en los dominios euclideos).
  1. ↑ Del texto discurre esta condición necesaria que vincula a ciertas categorías de dominios enteros