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Frontera (topología) - Wikipedia, la enciclopedia libre

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Frontera de la curva del terdragón.

Dado un espacio topológico {\displaystyle X} y {\displaystyle S} un subconjunto de {\displaystyle X}, se define la frontera o límite de {\displaystyle S} como la intersección de la clausura de {\displaystyle S} con la clausura del complemento de {\displaystyle S}, y se denota por {\displaystyle \partial S}. En otras palabras:

{\displaystyle \partial S:={\overline {S}}\cap {\overline {X\smallsetminus S}}}

Una definición equivalente para la frontera de un conjunto es la siguiente:

{\displaystyle \partial S={\overline {S}}\smallsetminus {\mbox{int}}(S)}

Donde: {\displaystyle {\mbox{int}}(S)\,} denota el interior de {\displaystyle S\,}.

Informalmente, la frontera (también llamada borde) de un conjunto {\displaystyle S} es el conjunto de aquellos puntos que pueden ver puntos tanto en {\displaystyle S} como en su complemento. La frontera de un conjunto siempre es un conjunto cerrado ya que es la intersección de dos conjuntos cerrados.

Sea {\displaystyle X} el conjunto de los reales, con la topología usual, entonces:

En el plano ℝ2 la frontera del círculo {\displaystyle C(H,r)=\{P\in \mathbb {R} ^{2}|d(H,P)\leq r\}} es la circunferencia de radio r y centro en H, con la topología usual.

En ℝ3:

  • La frontera de un conjunto es cerrada.
  • La frontera de un conjunto es igual a la frontera de su complemento: ∂S = ∂(SC).

De lo que se deduce que:

  • p es un punto de la frontera de un conjunto si y solo si todo entorno de p contiene al menos un punto del conjunto y al menos un punto que no sea del conjunto.
  • Un conjunto es cerrado si y solo si contiene su frontera, y es abierto si y solo si es disjunto de su frontera.
  • El cierre de un conjunto es igual a la unión del conjunto con su frontera. S = S ∪ ∂S.
  • La frontera de un conjunto es vacía si y solo si el conjunto es abierto y cerrado a la vez.
  • En ℝn, todo subconjunto cerrado es frontera de algún conjunto.

Fronteras y aplicaciones continuas

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Dado un conjunto abierto y acotado {\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}} y una aplicación continua {\displaystyle f\in C^{0}({\bar {\Omega }},\mathbb {R} ^{n})} que es inyectiva sobre {\displaystyle \Omega }. Entonces se cumple:

  • {\displaystyle f({\bar {\Omega }})={\overline {f(\Omega )}}}
  • {\displaystyle f(\Omega )=f({\mbox{int}}\ {\bar {\Omega }})\subset {\mbox{int}}\ f({\bar {\Omega }})}
  • {\displaystyle f(\partial \Omega )\supset f({\bar {\Omega }})}

La prueba del teorema anterior puede darse en términos de topología elemental y es relativamente breve. Si además se cumple {\displaystyle {\mbox{int}}\ {\bar {\Omega }}=\Omega } y la función continua es inyectiva sobre el compacto {\displaystyle {\bar {\Omega }}} entonces las dos inclusiones anteriores se convierten en igualdades:

  • {\displaystyle f(\Omega )=f({\mbox{int}}\ {\bar {\Omega }})={\mbox{int}}\ f({\bar {\Omega }})}
  • {\displaystyle f(\partial \Omega )=f({\bar {\Omega }})}
  • Lagos de Wada. Ejemplo que muestra como n abiertos del plano pueden tener una frontera común.