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Grupo alternante - Wikipedia, la enciclopedia libre

Grupo alternate

En teoría de grupos, el grupo alternante, también conocido como grupo alternado o subgrupo alternado, denotado usualmente {\displaystyle A_{n}}, es el subgrupo del grupo simétrico {\displaystyle S_{n}} del conjunto {\displaystyle \{1,2,\dots ,n\}} formado por las permutaciones pares.[1]​ Simbólicamente:

{\displaystyle A_{n}=\{\sigma \in S_{n}:\sigma {\text{ es par}}\}=\ker(\varepsilon ),}

siendo

{\displaystyle \varepsilon :S_{n}\rightarrow \{-1,1\}}

la aplicación signo de una permutación.

Propiedades

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{\displaystyle A_{n}} es un subgrupo normal de {\displaystyle S_{n}}. De hecho, es su subgrupo conmutador, de índice 2, y por ello tiene {\displaystyle n!/2} elementos.

{\displaystyle A_{n}} es no abeliano para {\displaystyle n\geq 4}.

El grupo {\displaystyle A_{4}} tiene a {\displaystyle V} (el grupo de Klein) como subgrupo propio normal. Para {\displaystyle n\geq 5}, {\displaystyle A_{n}} es un grupo simple.

Véase también

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Referencias

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  1. ↑ Thomas W. Judson (2002). Abstract Algebra. Theory and Applications. p. 83.
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