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Grupo simétrico - Wikipedia, la enciclopedia libre

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Grafo de Cayley de un grupo simétrico de orden 4 (S4)

En matemáticas, el grupo simétrico sobre un conjunto {\displaystyle X}, denotado por {\displaystyle S_{X},{\mathfrak {S}}_{X},\Sigma _{X},X!} o {\displaystyle \operatorname {Sym} (X)}, es el grupo formado por las aplicaciones biyectivas de {\displaystyle X} en sí mismo, bajo la operación de composición de funciones.[1]​

Cuando {\displaystyle X=\{1,2,\dots ,n\}} es un conjunto finito, el grupo {\displaystyle S_{X}} se denomina grupo de permutaciones de {\displaystyle n} elementos, y se denota por {\displaystyle S_{n},{\mathfrak {S}}_{n},\Sigma _{n}} o {\displaystyle \operatorname {Sym} (n)}. El orden de este grupo es n!, y no es abeliano para {\displaystyle n\geq 3}.

El teorema de Cayley afirma que todo grupo {\displaystyle G} es isomorfo a un subgrupo de su grupo simétrico {\displaystyle S_{G}}. En el caso particular de que {\displaystyle G} sea finito de orden {\displaystyle n}, entonces {\displaystyle G} es isomorfo a un subgrupo de {\displaystyle S_{n}}.[2]​

Composición de permutaciones

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Hay diversas formas de representar una permutación. Podemos escribir una permutación σ en forma de matriz, situando en primera fila los elementos del dominio 1, 2, 3..., y en la segunda las imágenes correspondientes σ(1), σ(2), σ(3),....

Dada dos permutaciones, su composición se realiza siguiendo las reglas usuales de composición de funciones:

su composición es: {\displaystyle \tau \circ \sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\\2&1&5&6&3&4\\\end{pmatrix}}}

El cálculo de la composición puede seguirse de un modo visual, recordando que al componer funciones se opera de derecha a izquierda:

Presentación del grupo de permutaciones de n elementos

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Recordemos que una trasposición es una permutación que intercambia dos elementos y fija los restantes. Toda permutación se descompone como producto de trasposiciones. De este modo, el conjunto de las trasposiciones forma un sistema generador de {\displaystyle S_{n}}. Pero es posible reducir aún más este sistema restringiéndonos a las trasposiciones de la forma {\displaystyle \tau _{i}=(i,i+1)}. En efecto, para i<j podemos descomponer cualquier trasposición en la forma:

{\displaystyle (i,j)=(i,i+1)(i+1,i+2)\dots (j-2,j-1)(j-1,j)(j-2,j-1)\dots (i+1,i+2)(i,i+1)}

Relaciones elementales

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Estos generadores permiten definir una presentación del grupo simétrico, junto con las relaciones:

  • {\displaystyle {\tau _{i}}^{2}=1\,},
  • {\displaystyle \tau _{i}\tau _{j}=\tau _{j}\tau _{i}\qquad {\mbox{si }}|j-i|>1\,},
  • {\displaystyle {(\tau _{i}\tau _{i+1}})^{3}=1.\,}.

Es posible igualmente usar como sistema de generadores:

  • Las trasposiciones de la forma (1 i), con i>1.
  • El conjunto formado por solo dos generadores:la trasposición σ=(1 2) y el ciclo c=(1 2 ... n).

Recordemos que toda permutación puede ser descrita como producto de ciclos disjuntos, y esta descomposición es única salvo el orden de los factores. Las clases de conjugación de Sn se corresponden con la estructura de dicha descomposición en ciclos: dos permutaciones son conjugadas en Sn si y sólo si se obtienen como composición del mismo número de ciclos disjuntos de las mismas longitudes. Por ejemplo, en S5, (1 2 3)(4 5) y (1 4 3)(2 5) son conjugados; pero (1 2 3)(4 5) y (1 2)(4 5) no.

El grupo S3, formado por las 6 permutaciones de tres elementos tiene tres clases de conjugación, listadas con sus números de elementos:

  • La identidad (abc → abc) (1)
  • Las permutaciones que intercambian dos elementos (abc → acb, abc → bac, abc → cba) (3)
  • Las permutaciones cíclicas de los 3 elementos (abc → bca, abc → cab) (2)

El grupo S4, consistente en las 24 permutaciones de 4 elementos tiene 5 clases de conjugación:

  • La identidad (1)
  • Las permutaciones que intercambian dos elementos (6)
  • Las permutaciones que intercambian cíclicamente tres elementos (8)
  • Las permutaciones cíclicas de los cuatro elementos (6)
  • Las permutaciones que intercambian dos elementos entre sí, y también los dos restantes (3)

En general, cada clase de conjugación en Sn se corresponderá con una partición entera de n y podrá ser representada gráficamente por un diagrama de Young. Así, por ejemplo, las cinco particiones de 4 se corresponderían con las cinco clases de conjugación listadas anteriormente:

  1. 1 + 1 + 1 + 1
  2. 2 + 1 + 1
  3. 3 + 1
  4. 4
  5. 2 + 2

Representaciones del grupo

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Si asociamos a cada permutación su matriz permutación obtenemos una representación que en general no es irreducible.[3]​

Representaciones irreducibles

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  1. ↑ Dummit y Foote, 2004, p. 29.
  2. ↑ Rotman, 2012, p. 52.
  3. ↑ Sternberg, Shlomo Group Theory and Physics. Cambridge University Press, 1994. ISBN 0 521 24870 1
  • Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (3ª edición). Wiley. ISBN 978-81-265-3228-5.
  • Rotman, Joseph J. (2012). An Introduction to the Theory of Groups. Springer.