es.wikipedia.org

Homomorfismo de grupos - Wikipedia, la enciclopedia libre

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Imagen de un homomorfismo de grupos (h) de G(izquierda) en H(derecha). El óvalo menor dentro de H es la imagen de h. N es el núcleo de h y aN es una clase lateral de N.

En álgebra, un homomorfismo de grupos es una función entre grupos que preserva la operación binaria.

Dados dos grupos {\displaystyle (G,\circ )} y {\displaystyle (H,\ast )} la aplicación {\displaystyle \quad \varphi :G\longrightarrow H\quad } es un homomorfismo de grupos si se verifica que para todos los pares de elementos {\displaystyle a,b\in G}

{\displaystyle \varphi (a\circ b)=\varphi (a)\ast \varphi (b)}

donde la operación en el lado izquierdo de la ecuación ({\displaystyle \circ }) es la ley de composición interna en {\displaystyle G}, y la operación del lado derecho de la ecuación ({\displaystyle \ast }) es la ley de composición interna en {\displaystyle H}.[1]​

Si la aplicación {\displaystyle \varphi } es biyectiva entonces es un isomorfismo de grupos, lo que significa que ambos grupos tienen la misma estructura algebraica (son isomorfos), y sólo se diferencian por los símbolos utilizados para denotar los elementos y la operación.

Dados dos grupos {\displaystyle (G,\circ )} y {\displaystyle (H,\ast )}, en el que cada grupo está compuesto por un conjunto de elementos y una ley de composición interna entre ellos (no necesariamente la misma), es posible definir una función que asigne a cada elemento g de {\displaystyle G} un elemento h de {\displaystyle H}:

{\displaystyle \quad \varphi :G\longrightarrow H\quad }

Dicha función es un homomorfismo de grupos si se verifica que para todos los pares de elementos {\displaystyle a,b\in G}

{\displaystyle \varphi (a\circ b)=\varphi (a)\ast \varphi (b)}

donde la operación en el lado izquierdo de la ecuación ({\displaystyle \circ }) es la ley de composición interna en {\displaystyle G}, y la operación del lado derecho de la ecuación ({\displaystyle \ast }) es la ley de composición interna en {\displaystyle H}.[1]​

El conjunto de todos los elementos de {\displaystyle H} que son la imagen de algún elemento de {\displaystyle G} se llama la imagen de la aplicación, y se denota {\displaystyle {\rm {{Im}(\varphi )}}} o {\displaystyle \varphi (G)}.[2]​ Formalmente:

{\displaystyle {\rm {{Im}(\varphi ):\lbrace h\in H:h=\varphi (g),\ para\ alg{\acute {u}}n\ g\in G\rbrace }}}

La imagen de {\displaystyle \varphi } es un subgrupo de {\displaystyle H}.

El conjunto de todos los elementos de {\displaystyle G} cuya imagen es el elemento identidad de {\displaystyle H} se llama núcleo (kernel) de {\displaystyle \varphi }:

{\displaystyle \ker(\varphi ):\lbrace g\in G:\varphi (g)=1_{H}\rbrace }

El núcleo de {\displaystyle \varphi } es un subgrupo normal de G. El núcleo es importante porque no sólo determina qué elementos tienen por imagen la identidad, sino también qué elementos tienen la misma imagen:[3]​

Dado {\displaystyle a\in G\rightarrow \varphi (a\circ k)=\varphi (a)\qquad \forall k\in \ker(\varphi )}
ya que {\displaystyle \varphi (a\circ k)=\varphi (a)\ast \varphi (k)=\varphi (a)\ast 1_{H}=\varphi (a)}

Los conjuntos de todos los elementos que comparten una misma imagen son las clases laterales del núcleo.

La función exponencial es un homomorfismo de grupos entre los números reales bajo la adición y el grupo multiplicativo de los reales no nulos (excluido el 0):

{\displaystyle f:(\mathbb {R} ,+)\longrightarrow (\mathbb {R} ^{\ast },\cdot )\quad tal\ que\ f(x)=e^{x}}

dado que {\displaystyle \quad f(x+y)=e^{x+y}=e^{x}\ e^{y}=f(x)\cdot f(y)}

La imagen de la función exponencial es el subgrupo de los números reales positivos, y el núcleo es solo el elemento identidad (el 0), ya que la aplicación es inyectiva.

La función determinante, definida sobre el grupo multiplicativo de matrices invertibles (grupo general lineal) en los números reales no nulos, es un homomorfismo de grupos:

{\displaystyle f:\mathbb {GL} _{n}(\mathbb {R} )\longrightarrow (\mathbb {R} ^{\ast },\cdot )\quad tal\ que\ f(A)=det(A)}

dado que {\displaystyle \quad \det(A\times B)=\det(A)\cdot \det(B)}.

Tipos de homomorfismos

[editar]

  • un monomorfismo de grupos es un homomorfismo de grupos inyectivo, aquel en el que no hay dos elementos de {\displaystyle G} con la misma imagen:
{\displaystyle \forall g_{1},g_{2}\in G:\varphi (g_{1})=\varphi (g_{2})\iff g_{1}=g_{2}}
El núcleo de un monomorfismo sólo contiene al elemento identidad, y a la inversa, cuando el núcleo sólo contiene al elemento identidad entonces la función es un monomorfismo.
{\displaystyle \forall h\in H:h=\varphi (g),\ para\ alg{\acute {u}}n\ g\in G}
  • un isomorfismo de grupos es un homomorfismo de grupos que es simultáneamente inyectivo y sobreyectivo, o lo que es lo mismo, biyectivo. cuando esto ocurre, ambos grupos tienen la misma estructura algebraica (son isomorfos), y sólo se diferencian por los símbolos utilizados para denotar al conjunto, los elementos y la operación.
  • un endomorfismo es un homomorfismo de un grupo en sí mismo:
{\displaystyle \quad \varphi :G\longrightarrow G\quad }.

Dado un homomorfismo de grupos {\displaystyle \quad \varphi :G\longrightarrow H\quad }, se verifican las siguientes propiedades:

Demostración

Por ser {\displaystyle 1_{G}} la identidad: {\displaystyle 1_{G}=1_{G}\circ 1_{G}}

Por ser {\displaystyle \varphi } un homomorfismo: {\displaystyle \varphi (1_{G})=\varphi (1_{G})\ast \varphi (1_{G})}

Multiplicando por {\displaystyle \varphi (1_{G})^{-1}}: {\displaystyle \varphi (1_{G})\ast \varphi (1_{G})^{-1}=\varphi (1_{G})\ast \varphi (1_{G})\ast \varphi (1_{G})^{-1}}

Simplificando: {\displaystyle 1_{H}=\varphi (1_{G})\ast 1_{H}=\varphi (1_{G})}.

Demostración

Por el resultado anterior {\displaystyle 1_{G}\in \ker(\varphi )}, así que el núcleo contiene como mínimo al elemento identidad.

  • La imagen de un inverso es el inverso de la imagen: {\displaystyle \varphi (a^{-1})=\varphi (a)^{-1}}.
Demostración

Aplicando las propiedades obtenidas hasta ahora:

{\displaystyle 1_{H}=\varphi (1_{G})=\varphi (a\circ a^{-1})=\varphi (a)\ast \varphi (a^{-1})}

y dado que los elemento inversos son únicos: {\displaystyle \varphi (a^{-1})=\varphi (a)^{-1}}.

Demostración

Para demostrar que {\displaystyle G'} es normal en {\displaystyle G} se debe cumplir que

{\displaystyle \forall g\in G\Rightarrow (g^{-1}\circ G'\circ g)\in G'}

pero {\displaystyle \forall g'\in G'\Rightarrow \varphi (g^{-1}\circ g'\circ g)=(\varphi (g)^{-1}\ast \varphi (g')\ast \varphi (g))\in H'}

dado que {\displaystyle H'} es normal en {\displaystyle H}.

Teoremas fundamental y de isomorfía

[editar]

El teorema fundamental expresado como un diagrama conmutativo.

Teoremas de isomorfismo

[editar]

  • El primera teorema es un caso particular del teorema fundamental:
  • Segundo teorema:
  • Tercer teorema:
  1. ↑ a b (Judson, 2012, p. 169)
  2. ↑ (Artin, 2011, p. 48)
  3. ↑ (Artin, 2011, p. 49)
  4. ↑ Judson, 2012, p. 170.
  5. ↑ «Fundamental homomorphism theorem». planetmath.org. Consultado el 1 de septiembre de 2013.