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Intervalo (matemática) - Wikipedia, la enciclopedia libre

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Un intervalo (del latín intervallum)[1]​ es un subconjunto conexo de la recta real, es decir, un subconjunto {\displaystyle I\subset \mathbb {R} } que satisface que, para cualesquiera {\displaystyle u,w\in I} y {\displaystyle v\in \mathbb {R} }, si {\displaystyle u\leq v\leq w}, entonces {\displaystyle v\in I}.[2]​ Es un conjunto medible y tiene la misma cardinalidad que la recta real.[3]​

Un intervalo {\displaystyle I} es un subconjunto de {\displaystyle \mathbb {R} } que verifica la siguiente propiedad:

Existen dos notaciones principales: en un caso se utilizan corchetes y corchetes invertidos, en el otro corchetes y paréntesis; ambas notaciones están descritas en el estándar internacional ISO 31-11.

Dados dos números reales {\displaystyle a} y {\displaystyle b}, se define el conjunto {\displaystyle (a,b)=\{x\in \mathbb {R} :a<x<b\}} llamado intervalo abierto de extremo inferior {\displaystyle a} y extremo superior {\displaystyle b}.

En palabras, el intervalo abierto {\displaystyle (a,b)} es el conjunto de números reales comprendidos entre {\displaystyle a} y {\displaystyle b}: este conjunto no contiene a ninguno de los extremos {\displaystyle a} y {\displaystyle b}.[4]​ Es un intervalo de longitud finita.

Otras notaciones
{\displaystyle (a,b)\;;\quad \left]a,b\right[\;;\quad \langle a,b\rangle }

En la definición de límite ordinario de una función real se considera como dominio un intervalo abierto que contiene al punto de acumulación.

En la topología usual de la recta (o {\displaystyle \mathbb {R} }) se usa un intervalo abierto para definir un conjunto abierto en dicha topología. En la topología usual de {\displaystyle \mathbb {R} }, un intervalo abierto es un conjunto abierto. El intervalo abierto {\displaystyle (a,b)} es igual a su interior, su frontera es el conjunto {\displaystyle \{a,b\}} y su clausura es el intervalo cerrado {\displaystyle [a,b]}. Su exterior son las semirrectas {\displaystyle (-\infty ,a]} y {\displaystyle [b,\infty )}.[5]​ No tiene puntos aislados, mientras que todos sus puntos son puntos de acumulación del mismo intervalo.[6]​

Sí incluye los extremos.

  • Que se indica: {\displaystyle I=[a,b]\ }

En notación conjuntista:

{\displaystyle I=[a,b]=\{x\in \mathbb {R} :a\leq x\leq b\}}

Intervalos semiabiertos

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Incluye únicamente uno de los extremos.

En notación conjuntista:

{\displaystyle I=(a,b]=\{x\in \mathbb {R} :a<x\leq b\}}

En notación conjuntista:

{\displaystyle I=[a,b)=\{x\in \mathbb {R} :a\leq x<b\}}

Los cuatro tipos de intervalos anteriores se llaman finitos; los expertos asignan como su longitud {\displaystyle |b-a|}. Son muy útiles en el análisis matemático y en los temas de topología general, para el estudio de diferentes conceptos como clausura, interior, frontera, conexidad, etc.[7]​ Se usan en definición de funciones como la función máximo entero, o la función techo o función piso en matemáticas discretas y para la solución de ecuaciones que conllevan valor absoluto, la función signo, etc.[8]​

Los intervalos finitos tienen un centro de simetría que es {\displaystyle (a+b)/2}, llamado punto medio, donde los extremos son {\displaystyle a} y {\displaystyle b} con {\displaystyle a<b}. En el caso {\displaystyle a=b}, no existe punto medio y el intervalo abierto es {\displaystyle \varnothing }.[9]​

Intervalos con infinito

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Este tipo de intervalos aparece cuando se conoce solo uno de los extremos y el otro es el infinito, es decir, un valor en términos absolutos mayor que cualquier otro, ya sea positivo o negativo. Al no poderse incluir el infinito en el intervalo, estos se consideran siempre abiertos.

Incluye un extremo e infinito por la derecha.

En notación conjuntista:

{\displaystyle I=[a,\infty )=\{x\in \mathbb {R} :a\leq x\}}

Sin incluir el extremo:

{\displaystyle I=(a,\infty )=\{x\in \mathbb {R} :a<x\}}

Incluye un extremo e infinito por la izquierda.

En notación conjuntista:

{\displaystyle I=(-\infty ,a]=\{x\in \mathbb {R} :x\leq a\}}

Sin incluir el extremo:

En notación conjuntista:

{\displaystyle I=(-\infty ,a)=\{x\in \mathbb {R} :x<a\}}

Para todo valor real:

En notación conjuntista:

{\displaystyle I=(-\infty ,\infty )=\mathbb {R} }
  • {\displaystyle \left\{(1-{\tfrac {1}{n}},2+{\tfrac {1}{n}}):n\in \mathbb {Z} _{>0}\right\}} es una familia de intervalos abiertos.
  • {\displaystyle \left\{{[1,2+{\tfrac {1}{n}}]}:n\in \mathbb {Z} _{>0}\right\}} es una familia de intervalos cerrados.

Operaciones con intervalos

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En notación conjuntista: supongamos el conjunto {\displaystyle A}:

{\displaystyle A=\{x\in \mathbb {R} :4<x\}=(-\infty ,4)}

Esto se lee: {\displaystyle A} es el conjunto de todos los números reales {\displaystyle x} tal que {\displaystyle x} es menor que cuatro.

Y el conjunto {\displaystyle B}:

{\displaystyle B=\{x\in \mathbb {R} :9<x\}=(9,\infty )}

{\displaystyle B} es el conjunto de todos los números reales {\displaystyle x}, tal que {\displaystyle 9} es menor que {\displaystyle x}.

El conjunto unión de {\displaystyle A} y {\displaystyle B} sería:

{\displaystyle A\cup B=(-\infty ,4)\cup (9,\infty )=\{x\in \mathbb {R} :x<4\lor x>9\}}

Un elemento está en la unión de dos o más conjuntos si y solo si está por lo menos en uno de ellos.

El conjunto intersección de {\displaystyle A} y {\displaystyle B} es el vacío:[10]​

{\displaystyle A\cap B=(-\infty ,4)\cap (9,\infty )=\{x\in \mathbb {R} :x<4\land 9<x\}}

porque {\displaystyle A} y {\displaystyle B} no tienen puntos en común.

Se nota de la siguiente manera: {\displaystyle A\cap B=\varnothing }

Dados los conjuntos A y C:

{\displaystyle A=\{x\in \mathbb {R} :x<4\}=(-\infty ,4)}
{\displaystyle C=\{x\in \mathbb {R} :-3<x<15\}=(-3,15)}

El conjunto unión de {\displaystyle A} y {\displaystyle C} es:

{\displaystyle A\cup C=\{x\in \mathbb {R} :x<15\}=(-\infty ,15)}

El conjunto unión es aquel que toma los valores de cada uno de los conjuntos, entre todos los conjuntos incluidos.

El conjunto intersección de {\displaystyle A} y {\displaystyle C} es:

{\displaystyle A\cap C=\{x\in \mathbb {R} :-3<x<4\}=(-3,4)}

El conjunto intersección es aquel que toma los valores en común entre todos los conjuntos incluidos.

Partiendo del concepto de intervalo, podemos definir el entorno de un punto como el espacio que rodea a ese punto.

Un entorno simétrico o entorno de centro {\displaystyle a} y radio {\displaystyle r} se representa:

  • Con la notación {\displaystyle E(a,r)} indicamos
{\displaystyle E(a,r)=\{x\in \mathbb {R} \quad /\;r>0:a-r<x<a+r\}=(a-r,a+r)}

Un entorno reducido de centro {\displaystyle a} y radio {\displaystyle r} se representa:

  • Con la notación {\displaystyle E^{*}(a,r)} indicamos
{\displaystyle E^{*}(a,r)=E(a,r)\setminus \{a\}}

Un entorno reducido de un punto {\displaystyle a} es un entorno de {\displaystyle a}, menos {\displaystyle \{a\}}. Por ejemplo, el intervalo {\displaystyle (-1,1)=\{y\in \mathbb {R} :-1<y<1\}} es un entorno de {\displaystyle a=0} en la recta real, entonces el conjunto {\displaystyle (-1,0)\cup (0,1)=(-1,1)\setminus \{0\}} es un entorno reducido de {\displaystyle 0} de radio 1.

Transformación lineal de intervalos.

Transformación lineal de intervalos. 

Transformación lineal de intervalos.

Transformación lineal de intervalos. 

Recta numérica.

Recta numérica.  

Se pueden clasificar los intervalos según sus características topológicas (intervalos abiertos, cerrados, semiabiertos) o según sus características métricas (longitud: nula, finita no nula, infinita).

La siguiente tabla resume los 11 casos posibles, con {\displaystyle a<b}, y {\displaystyle x} perteneciente al intervalo:

Notación Intervalo Longitud Descripción
{\displaystyle [a,b]\,} {\displaystyle a\leq x\leq b} {\displaystyle b-a\,} Intervalo cerrado de longitud finita.
{\displaystyle [a,b)} o {\displaystyle [a,b[} {\displaystyle a\leq x<b\!} {\displaystyle b-a\,} Intervalo semiabierto (cerrado en {\displaystyle a\,}, abierto en {\displaystyle b\,}).
{\displaystyle (a,b]} o {\displaystyle ]a,b]} {\displaystyle a<x\leq b} {\displaystyle b-a\,} Intervalo semiabierto (abierto en {\displaystyle a\,}, cerrado en {\displaystyle b\,}).
{\displaystyle (a,b)} o {\displaystyle ]a,b[} {\displaystyle a<x<b\!} {\displaystyle b-a\,} Intervalo abierto.
{\displaystyle (-\infty ,b)} o {\displaystyle ]-\infty ,b[} {\displaystyle x<b\!} {\displaystyle \infty } Intervalo semiabierto.
{\displaystyle (-\infty ,b]} o {\displaystyle ]-\infty ,b]} {\displaystyle x\leq b\!} {\displaystyle \infty } Intervalo semiabierto.
{\displaystyle [a,\infty )} o {\displaystyle [a,\infty [} {\displaystyle x\geq a\!} {\displaystyle \infty } Intervalo semiabierto.
{\displaystyle (a,\infty )} o {\displaystyle ]a,\infty [} {\displaystyle x>a\!} {\displaystyle \infty } Intervalo semiabierto.
{\displaystyle (-\infty ,\infty )} o {\displaystyle ]-\infty ,\infty [} {\displaystyle x\in \mathbb {R} \!} {\displaystyle \infty } Conjunto a la vez abierto y cerrado en la topología usual de {\displaystyle \mathbb {R} }.
{\displaystyle [a,a]=\{a\}\!} {\displaystyle x=a\!} {\displaystyle 0\!} Intervalo cerrado de longitud nula (intervalo degenerado).
{\displaystyle (a,a)=[a,a)=(a,a]=\varnothing \!} sin elemento {\displaystyle 0\!} Conjunto vacío.

[11]​

El número real {\displaystyle x} está en {\displaystyle I=[a,b]\,} si sólo si {\displaystyle a\leq x\leq b}. Los puntos {\displaystyle a} y {\displaystyle b} son elementos del intervalo cerrado {\displaystyle I}; {\displaystyle a} es el ínfimo y {\displaystyle b} el supremo. El intervalo cerrado es la clausura del intervalo abierto y los semiabiertos con extremos {\displaystyle a} y {\displaystyle b} con {\displaystyle a\leq x\leq b}. El intervalo abierto {\displaystyle (a,b)} es el interior del intervalo cerrado de extremos {\displaystyle a} y {\displaystyle b}; y estos puntos son los únicos que están en la frontera del intervalo cerrado {\displaystyle I=[a,b]\,}; este es un conjunto cerrado y compacto con la topología usual de la recta .[12]​

Aritmética de intervalos

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Sean {\displaystyle I=[a,b]} y {\displaystyle J=[c,d]} con {\displaystyle a\leq x\leq b}, y {\displaystyle c\leq y\leq d}.

Entonces: {\displaystyle a+c\leq x+y\leq b+d}. Lo que justifica que

  • {\displaystyle I+J=[a+c,b+d]}.

Un intervalo {\displaystyle n}-dimensional se define como un subconjunto de {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}, que es el producto cartesiano de {\displaystyle n} intervalos: {\displaystyle I=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}}, uno en cada eje de coordenadas.

Entorno de centro {\displaystyle a} y radio {\displaystyle \varepsilon }.

En términos topológicos, en el espacio métrico {\displaystyle \mathbb {R} } usual los intervalos son las bolas abiertas y cerradas. De manera más general, se le llama vecindad o entorno de centro {\displaystyle a} y radio {\displaystyle \varepsilon }, al conjunto de puntos cuya distancia a {\displaystyle a} es menor que {\displaystyle \varepsilon }.

{\displaystyle E(a,\varepsilon )=\left\{x\in \mathbb {R} :|x-a|<\varepsilon \right\}}
  1. ↑ «Intervalo». Real Academia Española. Consultado el 13 de agosto de 2021.
  2. ↑ Barbolla García R.M. y otros. Introducción al análisis real Alhambra, Madrid, 1982, segunda edición ISBN 84-205-0771-7
  3. ↑ De Guzmán. Rubio: Integración: teoría y técnicas" ISBN 84-205-0631-1
  4. ↑ César A. TREJO: El concepto de número. Publicación de OEA, Washington D.C. (1973). Edición revisada y corregida
  5. ↑ Ayala y otros: Elementos de la Topología general, Salamanca, España, ISBN 84-7829-006-0
  6. ↑ Rubiano: Topología general, Bogotá
  7. ↑ Mansfield, M.J. (1974). Introducción a la topología. Madrid, España. Editorial Alhambra S.A.
  8. ↑ Arizmendi. Carrillo. Lara: Cálculo Cecsa, Mexico D.F.
  9. ↑ Spivak: Calculus, tomo I http://valle.fciencias.unam.mx/licenciatura/bibliografia/spivak.pdf
  10. ↑ Conjunto vacío
  11. ↑ Hasser. La Salle. Sullivan: Análisis matemático I.
  12. ↑ Mansfield, M.J- (1974). Introducción a la Topología. Madrid, España. Editorial Alhambra S.A
  13. ↑ a b Chinn. Steenrod: Primeros conceptos de topología ISBN 84-205-0524-2
  14. ↑ Mansfield, M.J (1974) Introducción a la Topología. Madrid, España. Editorial Alhambra S. A.