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Número feliz - Wikipedia, la enciclopedia libre

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En el gráfico se representan los números felices menores a 200. Los nodos del gráfico representan los números, y los bordes representan el resultado de la transformación (suma de los cuadrados de los dígitos)

Los números felices se definen por el siguiente procedimiento: empezando con cualquier número entero positivo, se reemplaza el número por la suma de los cuadrados de sus dígitos, y se repite el proceso hasta que el número es igual a 1 o hasta que se entra en un bucle que no incluye el 1.[1]​ Los números que al finalizar el proceso terminan con 1 son conocidos como números felices. Aquellos que no, son conocidos como números infelices (o tristes).[2]​ Un número primo que además es un número feliz se llama primo feliz.

Más formalmente, dado un número {\displaystyle n} de tal modo que {\displaystyle n_{i}=n^{2}}, se define una secuencia {\displaystyle n_{1}}, {\displaystyle n_{2}},... donde {\displaystyle n_{i+1}} es la suma de los cuadrados de los dígitos de {\displaystyle n_{i}}. Entonces {\displaystyle n} es feliz si y sólo si existe i de tal modo que {\displaystyle n_{i+1}=1}.

7 es un número feliz, ya que:

72 = 49
42 + 92 = 97
92 + 72 = 130
12 + 32 + 02 = 10
12 + 02 = 1.

Si {\displaystyle n} no es feliz la suma de los cuadrados entrará en un bucle (de periodo 8):

4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4,...

Existe una fórmula recursiva que permite comprobar si un número es feliz después de una serie de iteraciones.[3]​

Sea {\displaystyle b_{1}} el número a comprobar. Si {\displaystyle b_{f}=1} después de algunas iteraciones se considera entonces que {\displaystyle b_{1}} es feliz.

{\displaystyle b_{f}=\sum _{n=0}^{\lfloor ({\frac {\log(b(-1+f))}{\log(10)}})\rfloor }{(-10\,\lfloor ({10}^{-1-n}\,b(-1+f))\rfloor +\lfloor {\frac {b(-1+f)}{{10}^{n}}}\rfloor )}^{2}}.

Infinitud de números felices

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Es fácil comprobar que hay infinitos números felices, ya que los cuadrados de los dígitos de cualquier número de la forma {\displaystyle 10^{n}} (con {\displaystyle n} un número natural) siempre suman 1.

De la misma manera, hay infinitos números infelices, pues los cuadrados de los dígitos de los números de la forma {\displaystyle 2*10^{n}} (con {\displaystyle n} natural) suman 4, que es un número infeliz.

Listas de números felices

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Existen dos números felices de una cifra: 1 y 7. (7 es además un primo feliz)

Existen 17 números felices de dos cifras: 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94 y 97. (13, 19, 23, 31, 79 y 97 son primos felices).

Existen 123 números felices de tres cifras: 100, 103, 109, 129, 130, 133, 139, 167, 176, 188, 190, 192, 193, 203, 208, 219, 226, 230, 236, 239, 262, 263, 280, 291, 293, 301, 302, 310, 313, 319, 320, 326, 329, 331, 338, 356, 362, 365, 367, 368, 376, 379, 383, 386, 391, 392, 397, 404, 409, 440, 446, 464, 469, 478, 487, 490, 496, 536, 556, 563, 565, 566, 608, 617, 622, 623, 632, 635, 637, 638, 644, 649, 653, 655, 656, 665, 671, 673, 680, 683, 694, 700, 709, 716, 736, 739, 748, 761, 763, 784, 790, 793, 802, 806, 818, 820, 833, 836, 847, 860, 863, 874, 881, 888, 899, 901, 904, 907, 910, 912, 913, 921, 923, 931, 932, 937, 940, 946, 964, 970, 973, 989, 998.

Aunque existen infinitos primos, e infinitos números felices, no se sabe si existen infinitos primos felices.[4]​

Los primeros primos felices son 7, 13, 19, 23, 31, 79, 97, 103, 109, 139, 167, 193, 239... (Secuencia A035497 de la OEIS)

El segundo y el tercer número primo repituno (1111111111111111111 y 11111111111111111111111) son además primos felices.

Números felices perfectos

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De los 51 números perfectos que se conocen, solo tres son además felices: 28, 496 y 8128.

Al igual que con los números primos felices, no se sabe si existen infinitos perfectos felices.

Felicidad en otras bases

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En el sistema binario (base 2), todos los números son felices. La operación de sumar cuadrados se simplifica, ya que solo hace falta contar cuántos 1 tiene el desarrollo binario del número, un valor conocido como peso de Hamming. El peso de Hamming de un número siempre es menor que el propio número (si exceptuamos el 1 y el 0). Por lo tanto, se alcanza siempre el 1 como peso de Hamming.

  1. ↑ http://www.solveet.com/exercises/El-numero-feliz/73 (Consultado el 12 de marzo de 2014)
  2. ↑ http://gaussianos.com/tipos-de-numeros/ (Consultado el 12 de marzo de 2014)
  3. ↑ «OEIS». Consultado el 22 de noviembre de 2014.
  4. ↑ «E34». Unsolved Problems Number Theory.