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Serie alternada - Wikipedia, la enciclopedia libre

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En matemáticas, una serie alternada es una serie infinita del tipo

{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\,a_{n}}

con an > 0. Una suma finita de este tipo es una suma alternada.

Condiciones de convergencia

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Una condición suficiente para que la serie alternada converja es que sea absolutamente convergente. Pero la misma no es una condición necesaria, ya que existen series que no la satisfacen y aun así son convergentes. Por ejemplo, la serie armónica

{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}},}

diverge, mientras que su versión alternada

{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+1}}}

converge al logaritmo natural de 2.

Un test más amplio de convergencia de una serie alternada es el test de Leibniz: si la sucesión {\displaystyle a_{n}} es monótona decreciente y tiende a cero, entonces la serie

{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\,a_{n}}

converge.

Se puede utilizar la suma parcial

{\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}a_{k}}

para aproximar la suma de una serie alternada convergente. Si {\displaystyle a_{n}} es monótona decreciente y tiende a cero, entonces el error en esta aproximación resulta ser menor que {\displaystyle a_{n+1}}.

Convergencia condicional

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Una serie condicionalmente convergente es una serie infinita que converge, pero no converge absolutamente. El siguiente resultado anti intuitivo es verdadero: si la serie real

{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\,a_{n}}

converge condicionalmente, entonces para todo número real {\displaystyle \beta } existe un reordenamiento {\displaystyle \sigma } de la serie tal que

{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{\sigma (n)}\,a_{\sigma (n)}=\beta .}

Como un ejemplo de esto, consideremos la serie precedente para el logaritmo natural de 2:

{\displaystyle \ln 2=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+1}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots .}

Una forma posible de reordenar la serie es (los paréntesis en el primer renglón están únicamente para mejorar la comprensión):

{\displaystyle 1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}\right)-{\frac {1}{8}}+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}\right)-{\frac {1}{12}}+\left({\frac {1}{7}}-{\frac {1}{14}}\right)-{\frac {1}{16}}+\cdots }
{\displaystyle ={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{10}}-\cdots }
{\displaystyle ={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots \right)}
{\displaystyle ={\frac {1}{2}}\,\ln 2.}

Una demostración de este postulado se basa en que el algoritmo voraz para σ es correcto.