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Subgrupo - Wikipedia, la enciclopedia libre

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Las raíces de la unidad en el plano complejo forman un subgrupo del grupo circular U(1).

En álgebra, dado un grupo G con una operación binaria *, se dice que un subconjunto no vacío H de G es un subgrupo de G si H también forma un grupo bajo la operación *. O de otro modo, H es un subgrupo de G si la restricción de * a H satisface los axiomas de grupo.[1]​

Un subgrupo propio de un grupo G es un subgrupo H que es un subconjunto propio de G (es decir H ≠ G). El subgrupo trivial de cualquier grupo es el subgrupo {e} que consiste solamente en el elemento identidad.

El grupo G a veces se denota por el par ordenado (G, *), generalmente para acentuar la operación * cuando G lleva varias estructuras algebraicas o de otro tipo. En lo siguiente, se sigue la convención usual y se escribe el producto a*b como simplemente ab.

Definición de un subgrupo

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Decimos que un subconjunto {\displaystyle F} de un grupo {\displaystyle G} es un subgrupo de {\displaystyle G} cuando {\displaystyle F} es un grupo con la operación ( de adición o multiplicación) de {\displaystyle G} restringida a los elementos de {\displaystyle F}.[2]​

Sean {\displaystyle (G,\circ )} un grupo y {\displaystyle H\subset G:H\neq \emptyset }. El grupo {\displaystyle (H,\circ )} se llama Subgrupo de {\displaystyle (G,\circ )} si y solo si:[3]​

Las dos últimas condiciones pueden expresarse de forma equivalente en una sola:[4]​

  • {\displaystyle \forall a,b\in H\Rightarrow a\circ b^{-1}\in H}.

En el caso de que H sea finito, es suficiente que H sea cerrado bajo producto, puesto que la existencia de los inversos se sigue automáticamente en ese caso.[5]​

La operación binaria es siempre asociativa en H puesto que es asociativa para todas las ternas de elementos de G, y todos los elementos de H pertenecen a G.[6]​

Propiedades de los subgrupos

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  • Todo grupo G con más de un elemento tiene al menos dos subgrupos:[1]​
    • el subgrupo trivial {e}, que contiene solo al elemento identidad.
    • el mismo G, que es el subgrupo máximo de G.
  • Dados dos subgrupos H y K de un grupo G, la intersección {\displaystyle H\cap K} es un subgrupo.[7]​ En general, la unión de subgrupos no forma un subgrupo, salvo que uno de ellos esté contenido en el otro.[8]​
  • Todo elemento a de un grupo G genera un subgrupo cíclico <a>. Si <a> es isomorfo a Z/n Z para algún número entero positivo n, entonces n es el número entero positivo más pequeño para el cual an = e, y n se llama el orden de a. Si <a> es isomorfo a Z, entonces a se dice que tiene orden infinito.
  • Si S es un subconjunto de G, entonces existe un subgrupo mínimo de G que contiene S: es el subgrupo generado por S y se denota por <S>. Un elemento de G está en <S> si y solamente si es un producto finito de elementos de S y de sus inversos.
  • El centro de un grupo G, denotado por {\displaystyle Z(G)}, es el subgrupo que contiene a todos los elementos que conmutan con cualquier elemento g de G. El centro es siempre un subgrupo normal y abeliano. El centro de un grupo abeliano G es el propio G.

Clases laterales y Teorema de Lagrange

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Clases laterales de Z2 en Z8.

Dados un subgrupo H de G y algún {\displaystyle a\in G}, definimos la clase lateral izquierda {\displaystyle aH=\{ah:h\in H\}}. Las clases izquierdas son las clases de equivalencia que corresponden a la relación de equivalencia a ~ b ssi b = ah para algún h en H.

Puesto que a es inversible, la función {\displaystyle \varphi :H\rightarrow aH} dada por {\displaystyle h\mapsto ah} es una biyección. Por tanto, cada clase lateral de H contiene tantos elementos como el subgrupo H; el mismo H es la clase lateral representada por eH. Las clases laterales izquierdas forman una partición de G: todo elemento de G está contenido en exactamente una y solo una clase izquierda de H, o dicho de otro modo, G es la unión disjunta de las clases laterales izquierdas de H.[9]​

Las clases laterales derechas se definen análogamente: {\displaystyle Ha=\{ha:h\in H\}}. Son también las clases de equivalencia correspondientes a una relación de equivalencia análoga: {\displaystyle a\sim b\iff b=ha} para algún {\displaystyle h\in H}.

El número de clases izquierdas y clases derechas de H es el mismo, se llama el índice de H en G y se denota por [G:H]. El teorema de Lagrange establece que

{\displaystyle [G:H]\cdot |H|=|G|}

donde |G| y |H| denotan los cardinales de G y de H, respectivamente. En particular, si G es finito, entonces la cardinalidad de todo subgrupo de G y el orden de cada elemento de G debe ser un divisor de |G|.[10]​

Dados un subgrupo H de G, si aH = Ha para cada a en G, es decir, las clases laterales por la izquierda y por la derecha coinciden, entonces H es un subgrupo normal. En un grupo abeliano todo subgrupo es normal. Los subgrupos normales son claves en los homomorfismos de grupos y permiten definir grupos cociente.

Todo grupo G contiene al menos dos subgrupo normales: el subgrupo trivial y el propio G; si no tiene ningún otro subgrupo normal entonces G es un grupo simple.

  1. ↑ a b (Judson, 2012, p. 49)
  2. ↑ Nachbin. «Álgebra elemental»
  3. ↑ (Artin, 2011, p. 42)
  4. ↑ (Judson, 2012, p. 51)
  5. ↑ Soto Aguilar y 2011, 129.
  6. ↑ (Artin, 2011, p. 43)
  7. ↑ (Barrera, 2003, p. 15)
  8. ↑ Dubreil y Dubreil-Jacotin, 1975, p. 86.
  9. ↑ (Artin, 2011, p. 56)
  10. ↑ (Artin, 2011, p. 57)