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Subgrupo normal - Wikipedia, la enciclopedia libre

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En matemáticas, un subgrupo normal o subgrupo distinguido {\displaystyle N} de un grupo {\displaystyle G} es un subgrupo invariante por conjugación; es decir, para cada elemento {\displaystyle n\in N} y cada {\displaystyle g\in G}, el elemento {\displaystyle gng^{-1}} está en {\displaystyle N}. Se denota {\displaystyle N\triangleleft G}.

Definiciones equivalentes

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Demostración

1.{\displaystyle \Longrightarrow }2.

Como {\displaystyle gN=Ng}, entonces {\displaystyle gn\in Ng}. Por tanto, {\displaystyle \exists n'\in N:gn=n'g\Longrightarrow gng^{-1}=n'\in N}.

2.{\displaystyle \Longleftrightarrow }3.

Es claro.

3.{\displaystyle \Longrightarrow }4.

Sea {\displaystyle g\in G}. Entonces, {\displaystyle g^{-1}N(g^{-1})^{-1}=g^{-1}Ng\subset N}. Por tanto, {\displaystyle N=g(g^{-1}Ng)g^{-1}\subset gNg^{-1}} y se tiene la igualdad.

4.{\displaystyle \Longrightarrow }1.

Sea {\displaystyle n\in N} y {\displaystyle g\in G}.

{\displaystyle gng^{-1}\in gNg^{-1}=N\Longrightarrow \exists n'\in N:gng^{-1}=n'\in N\Longrightarrow gn=n'g\Longrightarrow gN\subset Ng}.

Además, se tiene que {\displaystyle ng=g(g^{-1}n(g^{-1})^{-1})\in gN\Longrightarrow Ng\subset gN}.

Por tanto, {\displaystyle gN=Ng\Longrightarrow N\triangleleft G}.

Sea {\displaystyle G} un grupo y {\displaystyle N\triangleleft G}. Como los conjuntos de clases laterales por la izquierda y por la derecha coinciden lo llamaremos simplemente conjunto de clases laterales de {\displaystyle N} en {\displaystyle G}, y lo denotaremos {\displaystyle G/N}.

Podemos definir en {\displaystyle G/N} la operación {\displaystyle gN*hN=(gh)N\quad \forall g,h\in G} (esta operación está bien definida, ya que su definición no depende de los representantes elegidos en las clases a multiplicar).

Grupos normales y homomorfismos

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