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Teorema de Cayley - Wikipedia, la enciclopedia libre

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El teorema de Cayley es un resultado de teoría de grupos que permite representar cualquier grupo como un grupo de permutaciones.

Aunque ahora parezca bastante elemental, en su época las definiciones modernas no existían y cuando Cayley introdujo lo que ahora se denomina grupo, no quedó claro de inmediato que eso era equivalente a los grupos previamente conocidos, que ahora se llaman grupos de permutación. El teorema de Cayley unificó ambos.

Aunque Burnside[1]​ atribuyó el teorema a Camille Jordan,[2]​ Eric Nummela,[3]​ sin embargo, argumentó que el nombre estándar —"Teorema de Cayley"— es de hecho apropiado. El matemático británico Arthur Cayley (1821-1895), en su artículo original de 1854,[4]​ demostró que la correspondencia en el teorema era biunívoca, pero no pudo demostrar explícitamente que fuera un homomorfismo (y por lo tanto un isomorfismo). Sin embargo, Nummela señala que Cayley hizo que este resultado fuera conocido por la comunidad matemática dieciséis años antes de Jordan.

Sea G un grupo y g un elemento de este grupo. Se define la aplicación {\displaystyle t_{g}} de G en G como la traslación a la izquierda:

{\displaystyle \forall x\in G\qquad t_{g}(x)=gx}.

La asociatividad de la ley de grupos confirma que:

{\displaystyle (\star )\qquad \forall g,h\in G\qquad t_{gh}=t_{g}\circ t_{h}}.

Se deduce en particular que {\displaystyle t_{g}} es una permutación (biyección) de inversa (también biyectiva) {\displaystyle t_{g^{-1}}}, lo que permite definir una aplicación {\displaystyle \varphi } del grupo G en el grupo S(G) (el grupo de permutaciones o biyecciones {\displaystyle G\rightarrow G} con la operación de la composición) por:

{\displaystyle \forall g\in G\qquad \varphi (g)=t_{g}}
  1. ↑ Burnside, William (1911), Theory of Groups of Finite Order (2 edición), Cambridge, ISBN 0-486-49575-2.
  2. ↑ Jordan, Camille (1870), Traite des substitutions et des equations algebriques, Paris: Gauther-Villars.
  3. ↑ Nummela, Eric (1980), «Cayley's Theorem for Topological Groups», American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 87 (3): 202-203, JSTOR 2321608, doi:10.2307/2321608.
  4. ↑ Cayley, Arthur (1854), «On the theory of groups as depending on the symbolic equation θn=1», Philosophical Magazine 7 (42): 40-47.

David Steven Dummit (2004). Abstract algebra (3rd edición). Wiley. ISBN 0471433349.