es.wikipedia.org

Teorema del valor medio de Cauchy - Wikipedia, la enciclopedia libre

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Se ha propuesto fusionar este artículo o sección con «teorema del valor medio», pero otros wikipedistas no han alcanzado consenso sobre este asunto. Para más información, véase la discusión.

Lee la página de discusión de ambos artículos y aporta tus razones antes de proceder, respetando las normas de civismo en páginas de discusión.

Uso de esta plantilla: {{sust:Fusionar|Nombre de hasta otros veinte artículos para fusionar separados por "|"}}

Interpretación geométrica: para cualquier función continua en $[a,b]$ y diferenciable en $(a,b)$ , entonces existe algún $c$ en el intervalo $(a,b)$ de tal manera que la secante que une los extremos del intervalo $[a,b]$ es paralela a la tangente en $c$ .

{\displaystyle [a,b]} — Interpretación geométrica: para cualquier función continua en $[a,b]$ y diferenciable en $(a,b)$ , entonces existe algún $c$ en el intervalo $(a,b)$ de tal manera que la secante que une los extremos del intervalo $[a,b]$ es paralela a la tangente en $c$ .

Existe un punto del arco fijado donde la tangente es paralela a la cuerda.

En análisis matemático, y más concretamente en cálculo diferencial, el teorema del valor medio de Cauchy es una generalización del teorema del valor medio (de Lagrange). A partir de este puede demostrarse la regla de L'Hôpital, fuerte ayuda para el cálculo de límites con indeterminaciones $\textstyle {\frac {0}{0}}$ o $\textstyle {\frac {\infty }{\infty }}$ .

El teorema, aparecido en su Cours d’Analyse (1821),^[1] se enuncia de la siguiente manera:

Sean $f$ y $g$ continuas en $[a,b]$ y derivables en $(a,b)$ . Entonces existe al menos un punto $c\in (a,b)$ tal que:

$(f(b)-f(a))g\,'(c)=(g(b)-g(a))f\,'(c).\,$

En el caso de que g(a) ≠ g(b) y además g′(c) ≠ 0, entonces se puede escribir:

${\frac {f'(c)}{g'(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}\cdot$

Nótese el caso particular en el cual g(x)=x, donde entonces la expresión se reduce al teorema del valor medio de Lagrange.

Sea G(x) una función definida como:

$G(x)=[g(b)-g(a)]\cdot [f(x)-f(a)]-[f(b)-f(a)]\cdot [g(x)-g(a)]\,\!$

donde f(x) y g(x) son funciones continuas en [a,b], derivables en (a,b). Se puede observar por simple inspección que G(a)=0 y G(b)=0.

Por el Teorema de Rolle, existe un c, perteneciente al intervalo (a,b), tal que G'(c)=0. Así, derivando G(x) se obtiene:

$G'(x)=[g(b)-g(a)]\cdot f'(x)-[f(b)-f(a)]\cdot g'(x)$

y sabiendo que G'(c) es 0

$0=[g(b)-g(a)]\cdot f'(c)-[f(b)-f(a)]\cdot g'(c)$

de donde se deduce que

$[f(b)-f(a)]\cdot g'(c)=[g(b)-g(a)]\cdot f'(c)$

Si g(b)-g(a) y g'(c) son distintos de 0, la expresión anterior puede ser escrita como:

${\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}$

Q.E.D.

El teorema de Cauchy es usado para la demostración de otros teoremas. Nos permite, entre otros, demostrar la regla de L'Hôpital:

$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$

muy usada en análisis matemático, para el cálculo de límites de la forma de $\textstyle {\frac {0}{0}}$ o $\textstyle {\frac {\infty }{\infty }}$ .

↑ Nicolas Bourbaki, Éléments d'histoire des mathématiques, p. 193.

Trott, Michael. «Mean Value Theorem». The Wolfram Demonstrations Project (en inglés). Wolfram Research.
Weisstein, Eric W. «Teorema del valor medio». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
Weisstein, Eric W. «Teorema del valor medio de Cauchy». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.