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Topología cociente - Wikipedia, la enciclopedia libre

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Ilustración de un espacio cociente, S2, obtenida por pegado del contorno (en azul) del disco D2 a un solo punto.

En matemáticas, la topología cociente consiste intuitivamente en crear una topología pegando ciertos puntos sobre otros, en un espacio dado, por medio de una relación de equivalencia bien definida. El nuevo espacio así generado recibe el nombre de espacio cociente. Ejemplos conocidos son el toro matemático o la banda de Möbius.

Sean {\displaystyle (X,{\mathcal {T}}_{X})\ } un espacio topológico y {\displaystyle \sim \,} una relación de equivalencia sobre {\displaystyle X\ }. El conjunto cociente {\displaystyle Y=X/{\sim }\,} es el conjunto de clases de equivalencia de los elementos de {\displaystyle X\ }:

{\displaystyle Y=\{[x]:x\in X\}.}

Los conjuntos abiertos que conforman la llamada topología cociente sobre {\displaystyle Y} son los conjuntos de las clases de equivalencia cuyas uniones son conjuntos abiertos en {\displaystyle X}:

{\displaystyle {\mathcal {T}}_{\sim }=\{U\subseteq Y:\bigcup _{[x]\in U}[x]\in {\mathcal {T}}_{X}\}.}

Definición equivalente: sea la aplicación proyección {\displaystyle p:X\rightarrow X/{\sim }} dada por {\displaystyle p(x)=[x]}, se definen los abiertos de {\displaystyle {\mathcal {T}}_{\sim }} como los conjuntos {\displaystyle U\subseteq X/{\sim }} tales que {\displaystyle p^{-1}(U)\subseteq X} es abierto. Es decir, un conjunto de clases de equivalencia es abierto si los elementos que las forman son un conjunto abierto de la topología original.

{\displaystyle {\mathcal {T}}_{\sim }} es, en efecto, una topología. (Según la definición equivalente)
{\displaystyle (1)} {\displaystyle \emptyset \in {\mathcal {T}}_{\sim }} ya que {\displaystyle p^{-1}(\emptyset )=\emptyset }, que es un abierto de {\displaystyle {\mathcal {T}}_{X}} por definición de topología.

{\displaystyle (2)} {\displaystyle X/{\sim }\in {\mathcal {T}}_{\sim }} ya que {\displaystyle p^{-1}(X/{\sim })=X}, que es un abierto de {\displaystyle {\mathcal {T}}_{X}} por definición de topología.

{\displaystyle (3)} Dados {\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}} abiertos de {\displaystyle X/{\sim }}, tenemos que {\displaystyle p^{-1}(U_{i})\in {\mathcal {T}}_{X}\quad \forall i\in I} por definición de topología cociente. Por ser {\displaystyle {\mathcal {T}}_{X}} topología, {\displaystyle \bigcup _{i\in I}{p^{-1}(U_{i})}\in {\mathcal {T}}_{X}}, pero {\displaystyle \bigcup _{i\in I}{p^{-1}(U_{i})}=p^{-1}\left(\bigcup _{i\in I}{U_{i}}\right)\Rightarrow \bigcup _{i\in I}{U_{i}}\in {\mathcal {T}}_{\sim }}.

{\displaystyle (4)} Dados {\displaystyle \{U_{i}\}_{i=1}^{n}} abiertos de {\displaystyle X/{\sim }}, tenemos que {\displaystyle p^{-1}(U_{i})\in {\mathcal {T}}_{X}\quad \forall i=1,\dots ,n} por definición de topología cociente. Por ser {\displaystyle {\mathcal {T}}_{X}} topología, {\displaystyle \bigcap _{i=1}^{n}{p^{-1}(U_{i})}\in {\mathcal {T}}_{X}}, pero {\displaystyle \bigcap _{i=1}^{n}{p^{-1}(U_{i})}=p^{-1}\left(\bigcap _{i=1}^{n}{U_{i}}\right)\Rightarrow \bigcap _{i=1}^{n}{U_{i}}\in {\mathcal {T}}_{\sim }}.

En los siguientes ejemplos los homeomorfismos se construyen primero deformando el espacio cociente sin tener en cuenta la relación de equivalencia (cortándola) y después pegando los trozos que estaban relacionados. Es decir, estamos admitiendo que podemos construir un homeomorfismo entre dos espacios cociente a partir de uno entre los espacios originales siempre y cuando los elementos relacionados antes y después del homeomorfismo sean los mismos. Este resultado, que justifica que las construcciones siguientes son correctas, se conoce como lema de cortar y pegar, y se demuestra a continuación

Lema de cortar y pegar: Sea {\displaystyle f\colon X\to Y} un homeomorfismo y {\displaystyle \sim _{X},\sim _{Y}} relaciones de equivalencia en {\displaystyle X} e {\displaystyle Y}, respectivamente, que satisfacen que {\displaystyle x\sim _{X}x'\Leftrightarrow f(x)\sim _{Y}f(x')\quad \forall x,x'\in X}.

Entonces, la aplicación {\displaystyle f_{\sim }\colon X/{\sim _{X}}\to Y/{\sim _{Y}}} dada por {\displaystyle [x]_{X}\mapsto f_{\sim }([x]_{X})=[f(x)]_{Y}} está bien definida y es un homeomorfismo.

{\displaystyle (1)} Está bien definida: sean {\displaystyle x\sim _{X}x'} y veamos que la imagen por {\displaystyle f_{\sim }} de su clase de equivalencia {\displaystyle [x]_{X}} no depende de cuál tomemos como representante.

En efecto, {\displaystyle x\sim _{X}x'{\overset {\text{Hipótesis}}{\Rightarrow }}f(x)\sim _{Y}f(x')\Rightarrow [f(x)]_{Y}=[f(x')]_{Y}}, que es lo que queríamos.

{\displaystyle (2)} {\displaystyle f} es exhaustiva: Sea {\displaystyle [y]_{Y}\in Y/{\sim _{Y}}}, con representante {\displaystyle y}. Como {\displaystyle f} es homeomorfismo y, en particular, exhaustiva, {\displaystyle \exists x\in X} tal que {\displaystyle f(x)=y}. Pero entonces {\displaystyle [y]_{Y}=[f(x)]_{Y}=f_{\sim }([x]_{X})} y tenemos una antiimagen {\displaystyle [x]_{X}} de {\displaystyle [y]_{Y}}.

{\displaystyle (3)} {\displaystyle f} es inyectiva: Supongamos que {\displaystyle f_{\sim }([x]_{X})=f_{\sim }([x']_{X})} y veamos que {\displaystyle [x]_{X}=[x']_{X}}. En efecto, {\displaystyle f_{\sim }([x]_{X})=f_{\sim }([x']_{X})\Rightarrow [f(x)]_{Y}=[f(x')]_{Y}\Rightarrow f(x)\sim _{Y}f(x'){\overset {\text{Hipótesis}}{\Rightarrow }}x\sim _{X}x'\Rightarrow [x]_{X}=[x']_{X}}.

{\displaystyle (4)} {\displaystyle f} es continua. Sean {\displaystyle \pi _{X},\pi _{Y}} las proyecciones a {\displaystyle X/{\sim _{X}},Y/{\sim _{Y}}}, respectivamente. Tenemos que {\displaystyle \pi _{Y}\circ f=f_{\sim }\circ \pi _{X}}:

En efecto, dado {\displaystyle x\in X}, {\displaystyle \pi _{Y}(f(x))=[f(x)]_{Y}{\overset {\text{def}}{=}}f_{\sim }([x]_{X})=f_{\sim }(\pi _{X}(x))}. Pero {\displaystyle f} es continua por ser homeomorfismo y {\displaystyle \pi _{Y}} por ser una proyección al cociente. Por tanto, también lo es la composición {\displaystyle \pi _{Y}\circ f=f_{\sim }\circ \pi _{X}}, pero por la segunda propiedad del apartado de propiedades esto quiere decir que {\displaystyle f_{\sim }} es continua.

{\displaystyle (5)} {\displaystyle f^{-1}} es continua. La demostración es la misma que {\displaystyle (4)} pero heredando continuidad de {\displaystyle f^{-1}} (continua por ser {\displaystyle f} homeomorfismo). {\displaystyle \quad \square }

Toro
Toro
Banda de Möbius
Banda de Möbius

  1. ↑ a b c d Llopis, José L. «Espacio topológico cociente». Matesfacil. ISSN 2659-8442. Consultado el 18 de septiembre de 2019.
  2. ↑ A. Stolz, Stephan. Algebraic Topology (en inglés). Consultado el 18 de septiembre de 2019.
  3. ↑ Classification of surfaces (en inglés). Consultado el 18 de septiembre de 2019.