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Aplanétisme — Wikipédia

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L’aplanétisme est une propriété des systèmes optiques dioptriques, catoptriques et catadioptriques capables, pour un objet étendu perpendiculaire à l'axe optique, de former une image perpendiculaire à l'axe optique. Plus précisément, un système optique est aplanétique pour un couple de points {\displaystyle A} et {\displaystyle A'} [1] :

L'aplanétisme peut s'exprimer mathématiquement par la condition des sinus d'Abbe : {\displaystyle n\cdot {\overline {AB}}\cdot \sin \alpha =n'\cdot {\overline {A'B'}}\cdot \sin \alpha '}, que doit remplir un système optique stigmatique pour être aplanétique.

Le terme d'aplanétisme a été emprunté à l'anglais aplanatic et est employé depuis au moins 1794. « Aplanatic » et « aplanétisme » dérivent du grec ancien άπλάνητος utilisé depuis le Ier siècle et voulant dire « qui n'erre pas », « qui ne trompe pas »[2].

La première approche mathématique des achromats fut effectuée en 1760 par Samuel Klingenstierna : à cette époque ils étaient appelés lentilles aplanétiques[3].

Ernst Abbe nomme aplanétique tout objectif dénué d'aberration sphérique.

Système optique aplanétique : présentation des notations

{\displaystyle n} et {\displaystyle n'} sont les indices de réfraction en amont et en aval du système optique.

Le système optique est supposé stigmatique pour le couple de points conjugués {\displaystyle A} et {\displaystyle A'}. Il en résulte que le chemin optique {\displaystyle {\mathcal {L}}_{AA'}} est constant quel que soit le rayon qui traverse le système optique.

De même, le système optique est stigmatique pour le couple de points conjugués {\displaystyle B} et {\displaystyle B'} de sorte que chemin optique {\displaystyle {\mathcal {L}}_{BB'}} est lui aussi constant. Par conséquent, la différence {\displaystyle {\mathcal {L}}_{AA'}-{\mathcal {L}}_{BB'}} est constante.

En considérant maintenant le point {\displaystyle B} au voisinage de {\displaystyle A} et situé dans un plan perpendiculaire à l'axe optique passant par {\displaystyle A}. Les deux points étant très proches l'un de l'autre, on se permet d'écrire que les deux rayons (provenant de {\displaystyle A} et de {\displaystyle B}) au point {\displaystyle I} émergent par un même point {\displaystyle I'}. {\displaystyle \alpha } et {\displaystyle \alpha '} sont les angles orientés entre l'axe optique et les rayons respectivement incident et émergent. La différence des chemins optiques peut alors s'écrire[1] :

{\displaystyle {\mathcal {L}}_{AA'}-{\mathcal {L}}_{BB'}\simeq n\cdot ({AI}-{BI})+n'\cdot ({I'A'}-{I'B'})}.

En faisant l'approximation {\displaystyle AI\simeq HI} et {\displaystyle I'H'\simeq I'A'} :

{\displaystyle {\mathcal {L}}_{AA'}-{\mathcal {L}}_{BB'}\simeq n\cdot {\overline {HB}}-n'\cdot {\overline {H'B'}}=n\cdot {\overline {AB}}\cdot \sin \alpha -n'\cdot {\overline {A'B'}}\cdot \sin \alpha '}..

En étudiant le cas particulier {\displaystyle \alpha =0}, on peut écrire que {\displaystyle {\mathcal {L}}_{AA'}-{\mathcal {L}}_{BB'}=0} et en déduire la relation nommée condition des sinus d'Abbe :

{\displaystyle n\cdot {\overline {AB}}\cdot \sin \alpha =n'\cdot {\overline {A'B'}}\cdot \sin \alpha '}.

En utilisant le grandissement transversal {\displaystyle \gamma _{t}={\frac {\overline {A'B'}}{\overline {AB}}}}, on peut également écrire cette relation sous la forme[1] :

{\displaystyle {\frac {\sin \alpha }{\sin \alpha '}}={\frac {n'}{n}}\cdot \gamma _{t}}.

Une autre condition peut en être déduite, la condition de Herschel, qui se note[4] {\displaystyle n\cdot \mathrm {d} x\cdot \sin {(\theta /2)}^{2}=n'\cdot \mathrm {d} x'\cdot \sin {(\theta ^{'}/2)}^{2}}, concerne les objets étendus sur l'axe optique en lien avec le grandissement longitudinal ; {\displaystyle \mathrm {d} x} est un écart infinitésimal de l'objet et {\displaystyle \mathrm {d} x'} un écart infinitésimal de l'image sur l'axe optique[5],[6].

D'une part la relation des sinus d'Abbe mène à {\displaystyle {\frac {\sin(\alpha /2)}{\sin(\alpha ^{'}/2)}}{\frac {\cos(\alpha /2)}{\cos(\alpha ^{'}/2)}}={\text{constante}}}. D'autre part la relation de Hershel mène à {\displaystyle {\frac {\sin(\alpha /2)}{\sin(\alpha ^{'}/2)}}={\text{constante}}}. Ces deux relations ne sont compatibles que pour {\displaystyle |\alpha |=|\alpha '|}. Les seuls cas sont le centre du miroir sphérique et le miroir plan, on a donc incompatibilité des conditions d'Abbe et Herschel en général.

Dans le cadre de l'approximation de Gauss, le stigmatisme est dit approché : en première approximation, chaque point objet d'un système centré possède un conjugué stigmatique. L'approximation de Gauss permet de considérer de la même manière l'aplanétisme comme approché[7].

On parle souvent de systèmes aplanétiques dès lors que l'aberration sphérique[2] et/ou la coma sont corrigées[8].

  • Les points de Weierstrass sont rigoureusement stigmatiques et aplanétiques, propriétés utilisées dans les objectifs de microscope par exemple[1].
  • Le miroir plan est rigoureusement stigmatique et aplanétique.
  • Les dioptres sphériques sont aplanétiques pour le point image et objet confondus avec le centre de courbure.
  • De la même manière un miroir sphérique est aplanétique pour son centre et les points de sa surface
  • Un miroir parabolique quant à lui peut être stigmatique pour son foyer mais n'est pas aplanétique[1].
  • Dans un système aplanétique, en radiométrie, l'étendue géométrique d'un faisceau entrant est conservée[9].

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