fr.wikipedia.org

Approximation de Boussinesq — Wikipédia

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

L'approximation de Boussinesq en mécanique des fluides désigne une approximation des équations de Navier-Stokes pour des écoulements incompressibles à surface libre dans lesquels existe un gradient de masse volumique vertical entraînant l'absence d'équilibre hydrostatique. Ce type de méthode a été introduite en 1877 par Joseph Boussinesq, professeur de mécanique à l'Université de Lille et à l'Institut industriel du Nord (École centrale de Lille)^[1].

Cette approximation est à la base de nombreux développements, par exemple les écoulements rapidement variés^[2] (par exemple un déversoir de canal), la circulation océanique et les problèmes d'ondes à la surface des océans lorsque celui-ci est stratifié^[3], certains mouvements dans l'atmosphère associés à une variation de température comme les vents catabatiques et les problèmes de convection libre^[4].

Les problèmes où l'équilibre hydrostatique est conservé (écoulements en eau peu profonde) relèvent des équations de Barré de Saint-Venant.

On suppose que le milieu présente de faibles variations de température T. Par suite les variations de masse volumique ρ autour de la valeur nominale ρ₀ sont également faibles. De plus on peut confondre les capacités thermiques massiques à volume constant C_V et à pression constante C_p et supposer ces valeurs indépendantes de la température, de même que la conductivité thermique.

Avec ces hypothèses les équations de Navier-Stokes s'écrivent :

continuité

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\rho {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {V}}=0$

conservation de la quantité de mouvement

$\rho {\frac {D\mathbf {V} }{Dt}}=-\mathbf {\nabla } p+\mu \nabla ^{2}\mathbf {V} +\rho \mathbf {g}$

la dépendance en température fait que les équations ci-dessus sont à présent couplées à l'équation de conservation de l'énergie interne massique e

${\dfrac {\partial T}{\partial t}}+\mathbf {V} \cdot \mathbf {\nabla } T-\beta \,\nabla ^{2}T=0\,,\;\;\;\;\;\beta ={\frac {\lambda }{\rho C_{p}}}$

où p est la pression, μ la viscosité dynamique du fluide, V la vitesse, g la gravité, λ la conductivité thermique et β la diffusivité thermique.

Supposons une variation de masse volumique δρ crée par un phénomène quelconque

$\rho =\rho _{0}+\delta \rho$

L'équation de continuité devient

${\begin{array}{lcl}0&=&{\frac {D}{Dt}}(\rho _{0}+\delta \rho )+(\rho _{0}+\delta \rho )\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {V} \\[0.6em]&=&\underbrace {{\frac {D}{Dt}}\delta \rho +\delta \rho \,\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {V} } _{=0}+\rho _{0}\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {V} \end{array}}$

soit, comme pour un milieu à masse volumique constante

$\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {V} =0$

Pour l'équation de quantité de mouvement on suppose une faible variation de masse volumique

$|\delta \rho |\ll \rho _{0}$

alors

$\rho _{0}{\frac {D\mathbf {V} }{Dt}}=-\mathbf {\nabla } p+\mu \nabla ^{2}\mathbf {V} +\rho \mathbf {g}$

Par ailleurs g dérive d'un potentiel (par exemple Φ = g z à l'échelle du laboratoire)

$\mathbf {g} =-\nabla \phi$

donc

$-\nabla p+\rho \mathbf {g} =-\nabla (p+\rho _{0}\phi )+\mathbf {g} \delta \rho$

La variation de masse volumique est elle-même reliée à la variation de température par

$\delta \rho =-\alpha \rho _{0}\delta T$

où α est le coefficient de dilatation thermique. Soit finalement

$\rho _{0}{\frac {D\mathbf {V} }{Dt}}=-\nabla (p+\rho _{0}\phi )+\mu \nabla ^{2}\mathbf {V} +\rho _{0}\mathbf {f}$

où on a introduit la flottabilité

$\mathbf {f} =-\mathbf {g} \alpha \,\delta T$

On écrit

$T=T_{0}+\delta T$

Cette expression est portée dans l'équation de l'énergie

$\underbrace {{\dfrac {\partial T_{0}}{\partial t}}+\mathbf {V} \cdot \mathbf {\nabla } T_{0}+\beta \,\nabla ^{2}T_{0}} _{=0}+{\dfrac {\partial \delta T}{\partial t}}+\mathbf {V} \cdot \mathbf {\nabla } \delta T+\beta \,\nabla ^{2}\delta T=0$

Donc une équation sur la variation de température identique à celle sur la température elle-même.

↑ J. Boussinesq, « Essai sur la théorie des eaux courantes », Comptes rendus de l'Académie des Sciences, vol. 23,‎ 1877, p. 1-680 (lire en ligne)
↑ (en) Oscar Castro-Orgaz et Willi H. Hager, Non-Hydrostatic Free Surface Flows, Cham, Springer, 2017, 690 p. (ISBN 978-3-319-47969-9, BNF 45566508, lire en ligne)
↑ (en) Geoffrey K. Vallis, Atmospheric and Oceanic Fluid Dynamics, Cambridge University Press, 2017 (ISBN 978-1-1075-8841-7)
↑ (en) D. J. Tritton, Physical Fluid Dynamics, Clarendon Press, 1988 (ISBN 978-0-19-854493-7)

Équation de Korteweg-de Vries