fr.wikipedia.org

Composition de fonctions — Wikipédia

️Mon Oct 01 2018

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

La composition de fonctions (ou composition d’applications) est, en mathématiques, un procédé qui consiste, à partir de deux fonctions, à en construire une nouvelle. Pour cela, on utilise les images de la première fonction comme arguments pour la seconde (à condition que cela ait un sens). On parle alors de fonction composée (ou d'application composée).

Soient X, Y et Z trois ensembles quelconques. Soient deux fonctions $f:X\to Y$ et $g:Y\to Z$ . On définit la composée de f par g, notée $g\circ f$ , par

$\forall x\in X,\ (g\circ f)(x)=g(f(x)).$

On applique ici f à l'argument x, puis on applique g au résultat.

On obtient ainsi une nouvelle fonction $g\circ f:X\to Z$ .

La notation $g\circ f$ se lit « g rond f », « f suivie de g » ou encore « g après f ». On note parfois $g\circ f(x)$ pour $(g\circ f)(x)$ .

Cette définition peut être visualisée par un diagramme commutatif.

Soient les deux fonctions :

${\begin{matrix}f:&\mathbb {R} &\to &\mathbb {R} \\&x&\mapsto &-x\end{matrix}}\quad {\rm {et}}\quad {\begin{matrix}g:&\mathbb {R} _{+}&\to &\mathbb {R} \\&x&\mapsto &{\sqrt {x}}.\end{matrix}}$

Ici, l'ensemble d'arrivée de f est $\mathbb {R}$ . Or l'ensemble de départ de g est $\mathbb {R} _{+}$ (il n'existe pas de nombre réel dont le carré soit strictement négatif). Stricto sensu, la fonction $g\circ f$ n'a donc pas de sens ici et seule $g\circ f_{1}:\mathbb {R} _{-}\to \mathbb {R}$ en a un, où f₁ est la fonction suivante, obtenue par restriction-corestriction de f :

${\begin{matrix}f_{1}:&\mathbb {R} _{-}&\to &\mathbb {R} _{+}\\&x&\mapsto &-x\end{matrix}}$

Ici, on ne se préoccupe pas des problèmes de compatibilité des domaines des fonctions considérées.

On conserve les notations ci-dessus. Si $Y=X$ alors $f$ peut être composée avec elle-même et la composée est notée $f^{2}$ . Ainsi

$f^{2}=f\circ f$

$f^{3}=f\circ f\circ f$

et de manière plus générale :

$\forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad f^{n}=\underbrace {f\circ \ldots \circ f} _{n\ \mathrm {fois} }$ .

On pose

$f^{0}=\operatorname {id} _{X}$

où $\operatorname {id} _{X}$ est l'application identité de l'ensemble $X$ .

On peut étendre cette notation aux exposants entiers négatifs, à condition de supposer la fonction $f$ bijective (de $X$ dans lui-même). Alors, $f^{-1}$ désigne l'application réciproque et pour tout entier $n>0$ , $f^{-n}$ est la composée de $f^{-1}$ par elle-même n fois.

La puissance d'une fonction est distincte de la multiplication des applications. Par exemple, sin² désigne couramment le carré de la fonction sinus :

$\forall x\in \mathbb {R} \quad \sin ^{2}(x)=(\sin(x))^{2}=\sin(x)\times \sin(x)$ .

Il y a aussi une confusion possible entre l'inverse d'une fonction pour la multiplication et l'application réciproque.

On peut également s'intéresser aux racines carrées fonctionnelles, c'est-à-dire que l'on cherche, pour une fonction g donnée, une fonction f satisfaisant f(f(x)) = g(x) pour tout x. On note alors $f=g^{1/2}$ .^{[réf. nécessaire]}

Au milieu du XX^e siècle, quelques mathématiciens^{[réf. nécessaire]} trouvèrent que la notation $g\circ f$ portait à confusion et décidèrent d'utiliser une notation post-fixée : xf pour f(x) et xfg pour $(g\circ f)(x)$ .

Le caractère Unicode « rond », « ∘ », est le caractère U+2218. En LaTeX, ce caractère est obtenu par la commande \circ.

Yvan Monka, « Composition de fonctions », sur maths-et-tiques

Portail des mathématiques