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Conjugué — Wikipédia

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Représentation géométrique (diagramme d'Argand) de z et de son conjugué z̅ dans le plan complexe. Le conjugué est obtenu par symétrie par l'axe des réels.

En mathématiques, le conjugué d'un nombre complexe z est le nombre complexe formé de la même partie réelle que z mais de partie imaginaire opposée.

Le conjugué {\displaystyle a-b{\rm {i}}} d'un nombre complexe {\displaystyle z=a+b{\rm {i}}}, où a et b sont nombres réels, est noté[1],[2] {\displaystyle {\bar {z}}} ou {\displaystyle z^{*}}. Dans le plan, le point d'affixe {\displaystyle {\bar {z}}} est le symétrique du point d'affixe {\displaystyle z\,} par rapport à l'axe des abscisses. Le module du conjugué reste inchangé.

On peut définir une application, appelée conjugaison, par

{\displaystyle {\begin{array}{ccc}\mathbb {C} &\longrightarrow &\mathbb {C} \\z&\longmapsto &{\overline {z}}\end{array}}}

Cette application est ℝ-linéaire et continue. C'est de plus un automorphisme du corps ℂ.

On prend {\displaystyle (z,w)\in \mathbb {C} ^{2}}.

Le conjugué du quaternion {\displaystyle q=a+bi+cj+dk} est {\displaystyle q^{*}=a-bi-cj-dk}.

L'opération de conjugaison peut s'étendre aux espaces vectoriels complexes et à leurs éléments. Elle permet de former des espaces vectoriels conjugués.

  1. ↑ Norme ISO/CEI 80000-2 : z principalement en mathématiques, z* principalement en physique et sciences de l'ingénieur.
  2. ↑ z se lit « z barre ».