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Entier surnaturel — Wikipédia

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Diagramme de Hasse du réseau des entiers surnaturels ; les nombres premiers autres que 2 et 3 ont été omis.

En mathématiques, les entiers surnaturels, parfois appelés entiers généralisés or nombres de Steinitz, sont une généralisation des entiers naturels, introduite par Ernst Steinitz[1]:249-251 en 1910 dans le cadre de son travail sur la théorie des corps.

Un entier surnaturel {\displaystyle \omega } est un produit formel {\displaystyle \omega =\prod _{p}p^{n_{p}},} où {\displaystyle p} parcourt l'ensemble de tous les nombres premiers, et où chaque {\displaystyle n_{p}} est un entier naturel (éventuellement 0) ou le symbole {\displaystyle \infty }. On note parfois {\displaystyle v_{p}(\omega )} au lieu de {\displaystyle n_{p}}. Si {\displaystyle n_{p}\neq \infty } pour tout {\displaystyle p} et qu'il n'y a qu'un nombre fini de {\displaystyle n_{p}} non nuls, on retrouve les entiers positifs usuels. Par définition (en accord avec les formules de calcul données ci-dessous), on pose {\displaystyle 0=\prod _{p}p^{\infty }.}

Il ne semble pas possible de définir une addition sur les nombres surnaturels, mais on peut les multiplier par la formule {\displaystyle \prod _{p}p^{n_{p}}\cdot \prod _{p}p^{m_{p}}=\prod _{p}p^{n_{p}+m_{p}}} (avec {\displaystyle n_{p}+\infty =\infty }). De même, la notion de divisibilité s'étend aux surnaturels en posant {\displaystyle \omega _{1}\mid \omega _{2}} si {\displaystyle v_{p}(\omega _{1})\leq v_{p}(\omega _{2})} pour tout {\displaystyle p}. On peut définir de même le plus grand commun diviseur et le plus petit commun multiple en posant{\displaystyle \displaystyle \operatorname {ppcm} (\{\omega _{i}\})\displaystyle =\prod _{p}p^{\sup(v_{p}(\omega _{i}))}} et {\displaystyle \displaystyle \operatorname {\rm {pgcd}} (\{\omega _{i}\})\displaystyle =\prod _{p}p^{\operatorname {inf} (v_{p}(\omega _{i}))}}. Avec ces définitions, le pgcd ou le ppcm d'une famille infinie de supernaturels est encore un supernaturel. Enfin, la valuation {\displaystyle p}-adique se prolonge aux supernaturels en posant {\displaystyle v_{p}(\omega )=n_{p}} .

Les nombres supernaturels permettent de définir des ordres et des indices pour les sous-groupes des groupes profinis, et de démontrer que beaucoup de théorèmes pour les groupes finis s'appliquent encore. Ils permettent également d'encoder les extensions algébriques des corps finis[2]. Ils interviennent aussi dans la classification des algèbres uniformément hyperfinies (en).

  1. ↑ (de) Ernst Steinitz, « Algebraische Theorie der Körper », Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 137,‎ 1910, p. 167–309 (ISSN 0075-4102, DOI 10.1515/crll.1910.137.167, JFM 41.0445.03, lire en ligne)
  2. ↑ (en) Brawley & Schnibben (1989) pp.25-26