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Espace pseudo-métrique — Wikipédia

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En mathématiques, un espace pseudo-métrique[1] est un ensemble muni d'une pseudo-distance. C'est une généralisation de la notion d'espace métrique.

Sur un espace vectoriel, tout comme une norme induit une distance, une semi-norme induit une semi-distance. Pour cette raison, en analyse fonctionnelle et dans les disciplines mathématiques apparentées, l'expression « espace semi-métrique » est utilisée comme synonyme d'espace pseudo-métrique (alors qu'« espace semi-métrique » a un autre sens en topologie).

Une pseudo-distance sur un ensemble {\displaystyle E} est une fonction

{\displaystyle \mathrm {d} :E\times E\to \mathbb {R} _{+}}

telle que pour tout {\displaystyle x,y,z\in E},

  1. {\displaystyle \mathrm {d} \left(x,x\right)=0} ;
  2. {\displaystyle \mathrm {d} \left(x,y\right)=\mathrm {d} \left(y,x\right)} (symétrie) ;
  3. {\displaystyle \mathrm {d} \left(x,z\right)\leq \mathrm {d} \left(x,y\right)+\mathrm {d} \left(y,z\right)} (inégalité triangulaire).

Autrement dit, une pseudo-distance est un écart à valeurs finies.

Un espace pseudo-métrique est un ensemble muni d'une pseudo-distance.

À la différence de ceux d'un espace métrique, les points d'un espace pseudo-métrique ne sont pas nécessairement discernables — c'est-à-dire que l'on peut avoir {\displaystyle \mathrm {d} (x,y)=0} pour des points distincts {\displaystyle x\neq y}.

Espace Pseudo-distance Propriétés et remarques
Un ensemble {\displaystyle X} quelconque non vide. {\displaystyle d(x,y):=0} Cette pseudo-distance vérifie la séparibilité si et seulement si {\displaystyle X} est un singleton.
L'espace {\displaystyle \mathbb {R} ^{X}} des fonctions à valeurs réelles définies sur {\displaystyle X}. {\displaystyle d(f,g):=|f(x_{0})-g(x_{0})|} où {\displaystyle x_{0}\in X} est fixé. Cette pseudo-distance vérifie la séparibilité si et seulement si {\displaystyle X} est un singleton.
La tribu {\displaystyle {\mathcal {A}}} d'un espace mesuré {\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )} où {\displaystyle \mu } est une mesure finie. {\displaystyle d(A,B):=\mu (A\Delta B)} où {\displaystyle \Delta } désigne la différence symétrique. Cette pseudo-distance est parfois appelée la pseudo-distance de Fréchet–Nikodym–Aronszajn[2].
La tribu {\displaystyle {\mathcal {A}}} d'un espace mesuré {\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )} où {\displaystyle \mu } est une mesure finie. {\displaystyle d(A,B):={\frac {\mu (A\Delta B)}{\mu (A\cup B)}}} si {\displaystyle \mu (A\cup B)\neq 0} et {\displaystyle d(A,B):=0} sinon. Cette pseudo-distance est parfois appelée la pseudo-distance de Markzewisky–Steinhaus[2].

La topologie pseudo-métrique[3] associée à une pseudo-distance {\displaystyle \mathrm {d} } est celle induite par l'ensemble des boules ouvertes :

{\displaystyle B_{r}\left(p\right)=\{x\in X\mid \mathrm {d} \left(p,x\right)<r\}}.

Un espace topologique est dit « pseudo-métrisable » s'il existe une pseudo-distance dont la topologie associée coïncide avec celle de l'espace.

Remarque : un espace est métrisable si (et seulement si) il est pseudo-métrisable et T0.

En quotientant un espace pseudo-métrique par la relation d'équivalence d'annulation de la pseudo-distance, on obtient un espace métrique. Plus explicitement, on définit

{\displaystyle x\sim y\iff \mathrm {d} \left(x,y\right)=0},

et l'on obtient une distance {\displaystyle \mathrm {d} ^{*}} sur {\displaystyle E^{*}=E/\sim ~} en posant :

{\displaystyle \mathrm {d} ^{*}\left(\left[x\right],\left[y\right]\right)=\mathrm {d} \left(x,y\right)}.

La topologie de l'espace métrique {\displaystyle (E^{*},\mathrm {d} ^{*})} est la topologie quotient de celle de {\displaystyle (E,\mathrm {d} )}.

  1. ↑ J-M Huriot et J Perreur, « Distances, espaces et représentations (une revue) », 2017
  2. ↑ a et b (en) A Conci et C S Kubrusly, « Distance Between Sets - A survey », 2018
  3. ↑ (en) « Pseudometric topology », sur PlanetMath.