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Fonction affine — Wikipédia

  • ️Sat Jul 01 2023

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En analyse, une fonction affine est une fonction obtenue par addition et multiplication de la variable par des constantes. Elle peut donc s'écrire sous la forme :

{\displaystyle f(x)=ax+b}

où les paramètres {\displaystyle a} et {\displaystyle b} ne dépendent pas de {\displaystyle x}[1].

Lorsque la fonction est définie sur l'ensemble des réels, elle est représentée par une droite, dont {\displaystyle a} est la pente et {\displaystyle b} l'ordonnée à l'origine.

Un cas particulier des fonctions affines est lorsque l'ordonnée à l'origine est nulle, on obtient alors une fonction linéaire.

Les fonctions constantes et linéaires sont des exemples de fonctions affines. Les fonctions affines sont elles-mêmes des exemples de fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à 1.

La notion de fonction affine est généralisée en géométrie par celle d'application affine.

Remarque : dans certaines branches des mathématiques comme la statistique[2], une telle fonction est appelée, à l'image du terme anglophone linear function et du terme allemand Lineare Funktion, une fonction linéaire en référence au fait que son graphe est une ligne droite.

Une fonction affine {\displaystyle f} est caractérisée par le fait que son taux d'accroissement est constant. C'est-à-dire qu'il y a proportionnalité entre les accroissement de {\displaystyle x} et les accroissement de {\displaystyle f(x)}. En effet, si {\displaystyle x_{1}} et {\displaystyle x_{2}} sont deux réels, l'accroissement {\displaystyle f(x_{1})-f(x_{2})=a(x_{1}-x_{2})} est proportionnel à {\displaystyle x_{1}-x_{2}}. Le coefficient de proportionnalité est {\displaystyle a}.

Une fonction {\displaystyle f} est affine si et seulement si il existe {\displaystyle a} tel que pour tout réels {\displaystyle x_{1},x_{2}}, {\displaystyle f(x_{1})-f(x_{2})=a(x_{1}-x_{2})}.

Cette propriété donne alors un outil pour déterminer le coefficient {\displaystyle a} :

{\displaystyle a={\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}} si {\displaystyle x_{1}\neq x_{2}}.

On en déduit : {\displaystyle f'(x)=a}. La dérivée d'une fonction affine est une fonction constante dont la valeur est le coefficient multiplicateur — ou coefficient de proportionnalité — de la fonction affine.

L'ordonnée à l'origine {\displaystyle b} peut se calculer de la manière suivante :

{\displaystyle b={\frac {x_{2}f(x_{1})-x_{1}f(x_{2})}{x_{2}-x_{1}}}} si {\displaystyle x_{1}\neq x_{2}}.

Démonstration

{\displaystyle x_{2}f(x_{1})-x_{1}f(x_{2})=x_{2}(ax_{1}+b)-x_{1}(ax_{2}+b)=ax_{2}x_{1}+bx_{2}-ax_{2}x_{1}-bx_{1}=b(x_{2}-x_{1}).}

Si l'on connaît l'expression de {\displaystyle f}, alors on a que {\displaystyle b=f(0)}.

Supposons {\displaystyle a,b} réels et {\displaystyle a} non nul.

  • Exemple de l'abonnement téléphonique.
Le prix de l'abonnement mensuel est {\displaystyle A} et le prix d'une communication à la minute est de 0,10 €/min. La facture téléphonique est alors une fonction affine du nombre {\displaystyle x} de minutes de communication dans le mois :

{\displaystyle f\,\colon x\mapsto A+0{,}1~x}.

  • Longueur d'un ressort.
Si au repos le ressort a une longueur {\displaystyle L_{0}} et si sa raideur est {\displaystyle k}, alors la longueur du ressort est une fonction affine de la force appliquée (loi de Hooke).

{\displaystyle L\,\colon f\mapsto L_{0}+{\frac {f}{k}}}.

Dans ce cas, le coefficient directeur est {\displaystyle 1/k} et l'ordonnée à l'origine {\displaystyle L_{0}}.

La représentation graphique d'une fonction affine définie sur l'ensemble des réels est une droite[4] dont l'équation est

{\displaystyle y=ax+b}.

La droite coupe l'axe des ordonnées pour {\displaystyle y=b} (d'où le nom d'ordonnée à l'origine)[4]. Lorsque {\displaystyle b} est nul, la droite passe par l'origine du repère cartésien.

La droite a pour « pente » ou « coefficient directeur » le réel {\displaystyle a}[4]. Si {\displaystyle a>0}, la fonction affine est croissante (la droite « monte ») et si {\displaystyle a<0}, elle est décroissante (la droite « descend »). Par un processus analogue à celui vu pour la fonction linéaire, un déplacement d'un carreau en abscisse induit un déplacement de {\displaystyle a} carreaux en ordonnée, si le repère est orthonormé.

Si {\displaystyle M(x_{1},y_{1})} et {\displaystyle N(x_{2},y_{2})} sont deux points distincts appartenant à la droite d'équation {\displaystyle y=ax+b}, alors :

{\displaystyle a={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}},
{\displaystyle b=y_{1}-ax_{1}=y_{2}-ax_{2}={\frac {x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}}.

Si {\displaystyle a=0} alors la fonction est constante et si {\displaystyle b=0} alors la fonction est linéaire.

  • Jean Wacksmann, Mathématiques - Seconde : Pour aller plus loin en démontrant et en s’entraînant, Ellipses, 8 janvier 2019, 576 p. (ISBN 9782340028708), chap. 6.1 (« Fonction affine »)