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Inégalité de Bonnesen — Wikipédia

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En mathématiques, l'inégalité de Bonnesen[1],[2] est un raffinement de l'inégalité isopérimétrique dans le plan euclidien. Elle énonce qu'une courbe de Jordan (courbe fermée sans croisement) de longueur {\displaystyle L} englobant une surface {\displaystyle S} d'aire {\displaystyle A} vérifie l'inégalité :

{\displaystyle \pi ^{2}(R-r)^{2}\leqslant L^{2}-4\pi A}

où {\displaystyle r} et {\displaystyle R} sont respectivement les rayons d'un plus grand disque inclus dans la surface (de circonférence un cercle inscrit) et du plus petit disque englobant (de circonférence un cercle circonscrit)cette surface {\displaystyle S}.

L'inégalité de Bonnesen généralise l'inégalité isopérimétrique car elle implique cette dernière. En effet, d'après l'inégalité de Bonnesen,

{\displaystyle 4\pi A\leqslant L^{2}-\underbrace {\pi ^{2}(R-r)^{2}} _{\geqslant 0}\leqslant L^{2}}

On retrouve bien l'inégalité isopérimétrique :

{\displaystyle L^{2}\geqslant 4\pi A.}

Le nom de cette inégalité honore Tommy Bonnesen (en) qui fut le premier à établir cette inégalité[3].

La démonstration présentée ici, due à Hugo Hadwiger[4], montre un résultat un peu plus précis: les deux rayons {\displaystyle r} et {\displaystyle R} sont situés entre les deux racines de la fonction polynomiale du second degré qui à t associe l'aire de la surface {\displaystyle S+tB} où tB est le disque de rayon t centrée en l'origine.

  • La valeur –r est d'image négative par le polynôme qui, à t associe l'aire de la surface S + tB :

On considère un compact convexe non vide {\displaystyle S}, un cercle inscrit, de rayon {\displaystyle r} et un cercle circonscrit {\displaystyle C} de rayon {\displaystyle R}. Cette situation est illustrée sur la figure de gauche, le compact convexe est le carré violet, le cercle {\displaystyle C} est illustré en bleu et le cercle inscrit en vert. La technique utilisée consiste à considérer la zone bleue Z correspondant aux points de {\displaystyle C} qui ne sont pas dans {\displaystyle S}. La surface Z + rB est doublement mesurée, les symboles rB désignent ici la boule de rayon r et de centre le vecteur nul. Cette figure recouvre intégralement {\displaystyle S} et définit un disque de rayon R + r, illustré en jaune. On en déduit une première égalité :

{\displaystyle A(Z+r{\mathcal {B}})=\pi (R+r)^{2}.}

On découpe alors la surface Z en deux par une droite Δ passant par les centres des deux cercles inscrit et circonscrit. La partie supérieure de Z est notée Zs, comme indiquée sur l'illustration à droite. La somme de Minkowski de Zs et de rB correspond, dans la partie supérieure à la droite Δ, à un demi-disque, de rayon R + r. Si l1 et l2 sont les longueurs des deux intersections de Z avec Δ (voir la figure), l'intersection de la somme avec la partie inférieure à la droite Δ possède une aire égale à πr2 + (l1 + l2)r. On en déduit l'égalité :

{\displaystyle A(Z_{s}+r{\mathcal {B}})={\frac {\pi }{2}}(R+r)^{2}+(l_{1}+l_{2})r+\pi r^{2}.}

Il est aussi possible d'évaluer cette aire à l'aide de la formule de Steiner-Minkowski. Comme Zs n'est pas convexe, la formule est une majoration et non pas une égalité :

{\displaystyle A(Z_{s}+r{\mathcal {B}})={\frac {\pi }{2}}(R+r)^{2}+(l_{1}+l_{2})r+\pi r^{2}\leq A(Z_{s})+(\pi R+l_{1}+l_{2}+p_{s})r+\pi r^{2}.}

Ici ps désigne la longueur de la partie supérieure de la frontière de S. On peut appliquer exactement le même raisonnement à la partie inférieure à la droite Δ. En utilisant l'indice i pour décrire la partie inférieure, on obtient :

{\displaystyle A(Z_{i}+r{\mathcal {B}})={\frac {\pi }{2}}(R+r)^{2}+(l_{1}+l_{2})r+\pi r^{2}\leq A(Z_{i})+(\pi R+l_{1}+l_{2}+p_{i})r+\pi r^{2}.}

En sommant les deux majorations :

{\displaystyle \pi (R+r)^{2}+2(l_{1}+l_{2})r+2\pi r^{2}\leq A(Z)+2\pi Rr+2\pi r^{2}+2(l_{1}+l_{2})r+pr.}

Le périmètre p de S est en effet la somme de ps et de pi. L'aire de Z est aussi égale à la différence de l'aire d'un disque de rayon R avec l'aire a de S, ce qui donne :

{\displaystyle \pi (R+r)^{2}+2\pi r^{2}\leq \pi R^{2}-a+2\pi Rr+2\pi r^{2}+pr\quad {\text{et}}\quad a-pr+\pi r^{2}\leq 0.}

La dernière majoration signifie que -r est d'image négative par le polynôme associant à t l'aire de S + tB.

  • La valeur –R est d'image négative par le polynôme qui, à t associe l'aire de la surface S + tB :

On applique exactement le même raisonnement que le précédent en remplaçant le coefficient r par R, le rayon du cercle circonscrit (R n'est-il pas trop grand pour que cela soit possible ?). On obtient la majoration :

{\displaystyle \pi (2R)^{2}+2\pi R^{2}\leq \pi R^{2}-a+2\pi R^{2}+2\pi R^{2}+pR\quad {\text{et}}\quad a-pR+\pi R^{2}\leq 0,}

ce qui démontre la proposition.

  • Vérification de l'inégalité de Bonnesen  :

Dire que –r et –R ont une image négative par le polynôme revient à dire que ces valeurs se trouvent entre les racines :

{\displaystyle -{\frac {p+{\sqrt {p^{2}-4\pi a}}}{2\pi }}\leq -R\leq -r\leq -{\frac {p-{\sqrt {p^{2}-4\pi a}}}{2\pi }}.}

Cela signifie aussi que la distance qui sépare R et r est plus petite que le rapport entre le discriminant et π :

{\displaystyle R-r\leq {\frac {\sqrt {p^{2}-4\pi a}}{\pi }}\quad {\text{et}}\quad p^{2}-4\pi a\geq \pi ^{2}(R-r)^{2}.}
  1. ↑ Yu. D. Burago et V. A. Zalgaller, Geometric Inequalities, vol. 285, Berlin, Springer-Verlag, coll. « Grundlehren der mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences] », 1988, 3–4 p. (ISBN 3-540-13615-0, DOI 10.1007/978-3-662-07441-1, MR 936419, zbMATH 0633.53002)
  2. ↑ Bernard Teissier, « Volumes des corps convexes, géométrie et algèbre », sur Institut de mathématiques de Jussieu
  3. ↑ T. Bonnesen, « Sur une amélioration de l'inégalité isopérimetrique du cercle et la démonstration d'une inégalité de Minkowski », Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences, vol. 172,‎ 1921, p. 1087–1089 (JFM 48.0839.01, lire en ligne)
  4. ↑ (de) H. Hadwiger, Vorlesungen Über Inhalt, Oberfläche und Isoperimetrie, Berlin, Springer, 1957.