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Lacet (mathématiques) — Wikipédia

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Tracé de deux lacets sur un tore. Les lacets sont utilisés dans l'étude du groupe fondamental de l'espace topologique sur lequel ils sont définis.

En mathématiques, notamment en analyse complexe et en topologie, un lacet est la modélisation d'une « boucle ». C'est un chemin continu et fermé, c'est-à-dire que ses extrémités sont confondues. Par exemple, tout cercle dans le plan euclidien est un lacet.

Soit {\displaystyle X} est un espace topologique.

Définition 1 :

Définition 2 :

L'ensemble de tous les lacets dans X est appelé l'espace des lacets de X.

En analyse complexe, on s'intéresse aux lacets qui sont aussi des "courbes rectifiables[1]"

Un lacet f est dit simple lorsque l'égalité f(a) = f(b) implique soit que a = b, soit que {\displaystyle \{a,b\}=\{0,1\}}. Intuitivement, cela signifie que le lacet ne dessine qu'une unique boucle. On peut aussi définir des lacets polygonaux, ou de classe {\displaystyle C^{k}} (voir Chemins). Les termes de lacet simple et de courbe de Jordan sont synonymes.

Dans le cas {\displaystyle X=\mathbb {C} }, on peut définir l'indice {\displaystyle \mathrm {I} (\gamma ,z_{0})} d'un lacet {\displaystyle \gamma } par rapport à un point {\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} \smallsetminus \gamma ([0,1])} : il correspond au nombre (entier relatif) de tours effectués par le lacet autour de ce point.

On peut l'obtenir en calculant :

{\displaystyle \operatorname {I} (\gamma ,z_{0})={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {\mathrm {d} z}{z-z_{0}}}}
  1. ↑ Une courbe est rectifiable si les polygones inscrits sur celle-ci sont de longueur uniformément bornée. "Longueur d'un arc".