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Méthode de Bessel — Wikipédia

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La méthode de Bessel est une méthode focométrique de détermination expérimentale de la focale d'une lentille mince convergente. Elle porte le nom de Friedrich Wilhelm Bessel, qui l'a publiée en 1840[1].

On considère une lentille mince convergente de focale f', de centre O, de foyers image F' et objet F.

Soient D, la distance entre l'objet A (sur l'axe optique) et l'écran (où l'on visualise l'image A'), et d, la distance entre les deux positions de la lentille qui assurent la conjugaison de A et A', (c’est-à-dire la netteté de l'image sur l'écran). On peut déduire la valeur de la focale f' par la formule :

{\displaystyle f'={\frac {D^{2}-d^{2}}{4.D}}}

Schéma animé sur la méthode de Bessel

Les formules de conjugaison de Descartes donnent une relation entre les positions sur l'axe optique d'un objet A et de son image A' par rapport au centre optique O. Elles sont exprimées avec des distances algébriques.

Soit A un point de l'axe optique et A' son image par la lentille :

{\displaystyle {\frac {1}{\overline {OA'}}}-{\frac {1}{\overline {OA}}}={\frac {1}{\overline {OF'}}}={\frac {1}{f'}}}

On souhaite que A' soit réel (c’est-à-dire projetable sur un écran) : {\displaystyle {\overline {OA'}}>0}.

Il faut pour cela que A soit placé sur l'axe optique à une distance {\displaystyle {\overline {OA}}<-f'}.

Démonstration

On a : {\displaystyle {\overline {OA'}}>0}

Donc : {\displaystyle {\frac {1}{\overline {OA'}}}>0}

Or : {\displaystyle {\frac {1}{\overline {OA'}}}-{\frac {1}{\overline {OA}}}-{\frac {1}{f'}}=0}

Par conséquent : {\displaystyle {\frac {1}{\overline {OA}}}+{\frac {1}{f'}}>0}

D'où : {\displaystyle {\frac {1}{\overline {OA}}}>-{\frac {1}{f'}}}

Et par décroissance de la fonction inverse, on obtient : {\displaystyle {\overline {OA}}<-f'}

On fixe {\displaystyle D={\overline {AA'}}}, la distance entre l'objet (A) et l'écran (A') et on pose {\displaystyle x={\overline {OA}}} et {\displaystyle y={\overline {OA'}}}, donc

{\displaystyle D={\overline {AA'}}={\overline {OA'}}-{\overline {OA}}\Rightarrow y=D+x}.

Les relations de conjugaison se réécrivent :

{\displaystyle {\frac {1}{y}}={\frac {1}{f'}}+{\frac {1}{x}}\Leftrightarrow y={\frac {f'x}{f'+x}}}.

La combinaison des deux précédentes équations donne bien une équation du second degré en x :

{\displaystyle x^{2}+D.x+f'.D=0}

Cette équation n'a de solution réelle que si {\displaystyle \Delta =D^{2}-4.f^{'}.D=D.\left(D-4.f'\right)\geq 0}

Aussi, il faut que {\displaystyle D\geq D_{min}=4.f'}

Si {\displaystyle D>D_{min}}, alors {\displaystyle \Delta >0} : il y a deux solutions réelles (il existe alors deux positions de la lentille qui permettent de conjuguer A et A').

Les solutions sont :

{\displaystyle x_{\pm }={\frac {-D\pm {\sqrt {D^{2}-4.f^{'}.D}}}{2}}}

Ainsi, l'écart entre les deux positions possibles de la lentille est de {\displaystyle \left|x_{+}-x_{-}\right|={\sqrt {D^{2}-4.f^{'}.D}}}

Cette distance est aussi la distance entre les deux positions de la lentille qui assurent la conjugaison de A et A' : {\displaystyle d=\left|x_{+}-x_{-}\right|={\sqrt {D^{2}-4.f^{'}.D}}}

En élevant au carré, on trouve la formule : {\displaystyle f'={\frac {D^{2}-d^{2}}{4.D}}}

La méthode de Silbermann apparaît comme un cas particulier de la méthode de Bessel, dans lequel la position de la lentille est unique (soit d=0 et D=4f').

  1. ↑ (de) Friedrich Wilhelm Bessel, « Über ein Mittel zur Bestimmung der Brennweite des Objectivglases eines Fernrohrs », Astronomische Nachrichten, vol. 17,‎ 1840, p. 289 (lire en ligne)