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Magma (algèbre) — Wikipédia

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En mathématiques, un magma est une des structures algébriques utilisées en algèbre générale. Un magma est par définition un ensemble muni d'une loi de composition interne.

Un magma est un ensemble {\displaystyle M} muni d'une loi de composition interne {\displaystyle \star }, noté alors {\displaystyle (M,\star )} ou simplement {\displaystyle M}.

Aucun axiome n'est imposé. La loi de composition peut être notée additivement, multiplicativement, mais aussi sans aucun signe, par simple juxtaposition.

On dit que le magma {\displaystyle (M,\star )} est :

Si {\displaystyle (M,\cdot )} et {\displaystyle (N,\star )} sont des magmas, un morphisme de magmas, ou homomorphisme de magmas, de {\displaystyle (M,\cdot )} dans {\displaystyle (N,\star )} est par définition[2] une application f de M dans N telle que, pour tous éléments x, y de M, on ait

{\displaystyle \qquad f(x\cdot y)=f(x)\star f(y).}

Si, de plus, f est une bijection, la réciproque de f est un morphisme de magmas de {\displaystyle (N,\star )} dans {\displaystyle (M,\cdot )} et on dit que f est un isomorphisme de magmas. La réciproque d'un isomorphisme de magmas est un isomorphisme de magmas.

Si le contexte est assez clair, on dit « morphisme » tout court plutôt que « morphisme de magmas », mais il y a des cas où cela pourrait prêter à confusion. Par exemple, un morphisme de magmas entre monoïdes n'est pas forcément un morphisme de monoïdes.

Magma {0,1,2} muni de {\displaystyle \star }
{\displaystyle \star } 0 1 2
0 0 0 0
1 0 0 1
2 0 2 2

Pour tout ensemble {\displaystyle X}, il est possible de construire un ensemble {\displaystyle M_{X}} qui contient {\displaystyle X} et qui est un magma pour la loi {\displaystyle \bullet } définie par : {\displaystyle a\bullet b=(a,b)}. Cet ensemble doit nécessairement contenir

{\displaystyle M_{X}} peut être décrit comme l'ensemble des mots parenthésés construits à partir des éléments de {\displaystyle X}, l'opération {\displaystyle \bullet } étant une concaténation non associative.

Bourbaki décrit cet ensemble[4] comme l'union des ensembles de mots de longueur {\displaystyle n} pour {\displaystyle n} appartenant à {\displaystyle \mathbb {N} } . Il définit par récurrence l'ensemble des mots de longueur {\displaystyle n}, {\displaystyle M_{n}(X)} comme l'ensemble somme des ensembles {\displaystyle M_{p}(X)\times M_{n-p}(X)} pour {\displaystyle 1\leqslant p\leqslant n-1} : un mot de longueur n est la concaténation d'un mot de longueur {\displaystyle p} et d'un mot de longueur {\displaystyle n-p}.

Cet ensemble s'appelle le magma libre construit sur {\displaystyle X}.

Ce magma libre construit sur {\displaystyle X} possède la propriété universelle suivante: si {\displaystyle f} est une application de {\displaystyle X} vers un magma {\displaystyle M}, il existe une unique extension de {\displaystyle f}, {\displaystyle {\tilde {f}}}, qui soit un morphisme de magma de {\displaystyle M_{X}} vers {\displaystyle M}.

Le terme magma a été introduit pour la première fois dans le contexte de l'algèbre générale par Nicolas Bourbaki.

L'ancienne appellation « groupoïde de Ore », introduite par Bernard Hausmann et Øystein Ore en 1937[5] et parfois utilisée jusque dans les années 1960[6], est aujourd'hui à éviter [7],[8],[9], l'usage du terme groupoïde étant aujourd'hui réservé à la théorie des catégories, où il signifie autre chose.

  1. ↑ N. Bourbaki, Algèbre I, chapitres 1 à 3, p. I.12 §2 1, Élément neutre, Définition 2.
  2. ↑ N. Bourbaki, AI, p. I.2-3.
  3. ↑ (en) V. L. Murskiǐ, « The existence in three-valued logic of a closed class with finite basis, not having a finite complete system of identities », Soviet Math. Dokl., vol. 6, 1965, p. 1020-1021.
  4. ↑ Bourbaki, A I.77, §7, Magmas libres.
  5. ↑ (en) B. A. Hausmann et Oystein Ore, « Theory of Quasi-Groups », Amer. J. Math., vol. 59, no 4,‎ 1937, p. 983-1004 (JSTOR 2371362).
  6. ↑ Dov Tamari, « Problèmes d'associativité des monoïdes et problèmes des mots pour les groupes », Séminaire Dubreil, vol. 16, no 1,‎ 1962-63 (lire en ligne), exposé no 7, p. 1-29.
  7. ↑ (en) « Groupoid », sur Online Dictionary of Crystallography.
  8. ↑ (en) Massimo Nespolo, « Does mathematical crystallography still have a role in the XXI century? », Acta Crystallographica, section A, vol. 64,‎ 2008, p. 97 (DOI 10.1107/S0108767307044625).
  9. ↑ (en) L. Beklemishev, M. Pentus et N. Vereshchagin, Provability, Complexity, Grammars, coll. « AMS Translations – Series 2 » (no 192), 1999, 172 p. (traduction anglaise de trois thèses de doctorat en russe, dont la première : [(ru) lire en ligne], 1992).