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Produit tensoriel de deux applications linéaires — Wikipédia

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Le produit tensoriel de deux applications linéaires est une construction qui à deux applications linéaires entre A-modules, u de E1 dans F1 et v de E2 dans F2, associe une application linéaire u⊗v entre produits tensoriels, de E1⊗AE2 dans F1⊗AF2.

On suppose dans cette partie que l'anneau A est commutatif. Avec les notations de l'introduction, l'application

{\displaystyle E_{1}\times E_{2}\to F_{1}\otimes _{A}F_{2},\quad (x,y)\mapsto u(x)\otimes v(y)}

est A-bilinéaire. D'après la propriété universelle du produit tensoriel, il existe une unique application linéaire {\displaystyle \varphi (u,v):E_{1}\otimes _{A}E_{2}\to F_{1}\otimes _{A}F_{2}} telle que

{\displaystyle \forall (x,y)\in E_{1}\otimes _{A}E_{2},\varphi (u,v)(x\otimes y)=u(x)\otimes v(y).}

De plus, l'application {\displaystyle \varphi } de l'espace {\displaystyle \mathrm {Hom} _{A}\,(E_{1},F_{1})\times \mathrm {Hom} _{A}\,(E_{2},F_{2})} dans le module {\displaystyle \mathrm {Hom} _{A}\,(E_{1}\otimes _{A}E_{2},F_{1}\otimes _{A}F_{2})} est bilinéaire ; il existe donc une application linéaire canonique

{\displaystyle \psi :\mathrm {Hom} _{A}\,(E_{1},F_{1})\otimes _{A}\mathrm {Hom} _{A}\,(E_{2},F_{2})\to \mathrm {Hom} _{A}\,(E_{1}\otimes _{A}E_{2},F_{1}\otimes _{A}F_{2})}

telle que

{\displaystyle \varphi (u,v)=\psi (u\otimes v)} pour toutes applications A-linéaires {\displaystyle u:E_{1}\to F_{1}}, {\displaystyle v:E_{2}\to F_{2}}.

L'application {\displaystyle \varphi (u,v)} de {\displaystyle E_{1}\otimes _{A}E_{2}} dans {\displaystyle F_{1}\otimes _{A}F_{2}} s'appelle le produit tensoriel de u et v, et il se note dans la pratique u⊗v. Attention, cette notation est abusive, car elle peut désigner deux objets de nature différente :

D'autant plus que ψ n'est pas toujours un isomorphisme, si bien qu'il est impossible d'identifier les deux « u⊗v ».

Néanmoins, lorsque E1 et E2 sont des modules libres de rang fini (par exemple des espaces vectoriels de dimension finie), ψ est un isomorphisme, et cela a bien un sens de confondre les deux notations u⊗v. En particulier, ψ fournit, sous cette hypothèse, des isomorphismes canoniques de E1*⊗AE2* dans (E1⊗AE2)* et de E1*⊗AF2 dans HomA(E1, F2).

Démonstration du dernier résultat

Tout A-module libre de rang p est isomorphe (via le choix d'une base) à Ap, et pour tout A-module F, HomA(Ap, F) est (canoniquement) isomorphe à Ap⊗AF. Il suffit donc de vérifier que pour tous entiers m et n, l'application canonique suivante, correspondant à ψ via ces identifications, est un isomorphisme :

{\displaystyle (A^{m}\otimes _{A}F_{1})\otimes _{A}(A^{n}\otimes _{A}F_{2})\to \mathrm {Hom} _{A}\,(A^{m}\otimes _{A}A^{n},F_{1}\otimes _{A}F_{2}).}

Par associativité et commutativité de ⊗A et par l'isomorphisme entre Am⊗AAn et Amn, il s'agit simplement d'un troisième cas

{\displaystyle A^{mn}\otimes _{A}(F_{1}\otimes _{A}F_{2})\to \mathrm {Hom} _{A}\,(A^{mn},F_{1}\otimes _{A}F_{2})}

de l'isomorphisme canonique invoqué au début.