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Quadrupôle électrostatique — Wikipédia

  • ️Fri Nov 01 2019

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Quadrupôle électrique.

En électrostatique, un quadrupôle est une distribution de charges telle que les barycentres des charges positives et des charges négatives soient confondus.

Soit une distribution {\displaystyle ({\mathcal {D}})} de charges {\displaystyle q_{i}} aux points {\displaystyle P_{i}}. Cette distribution {\displaystyle ({\mathcal {D}})} à support compact crée à une grande distance des charges (pour {\displaystyle r\gg a}, avec {\displaystyle a} longueur caractéristique de la distribution) un potentiel {\displaystyle V_{1}(r)}.

On définit :

On peut vérifier que {\displaystyle {\hat {Q}}} est de trace nulle : {\displaystyle {\textrm {Tr}}\ {\hat {Q}}=0}.

Dans le cas d'une distribution continue de charge, l'expression de la composante {\displaystyle Q_{ij}} du tenseur quadrupolaire est

{\displaystyle Q_{ij}=\int \rho \left(3r_{i}r_{j}-\|r\|^{2}\delta _{ij}\right){\textrm {d}}^{3}{\vec {r}}}, où {\displaystyle \delta _{ij}} est le symbole de Kronecker.

Théorème :

{\displaystyle V_{1}({\vec {r}})={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left({\frac {q}{r}}+{\frac {{\vec {p}}\cdot {\vec {u}}}{r^{2}}}+{\frac {{\vec {u}}\cdot \left({\hat {Q}}{\vec {u}}\right)}{2r^{3}}}\right)+o\left({\frac {1}{r^{3}}}\right)}, avec {\displaystyle {\vec {u}}={\frac {\vec {r}}{r}}}

En gravimétrie, ce théorème s'appelle formule de MacCullagh.

Lorsque {\displaystyle ({\mathcal {D}})} possède une symétrie de révolution, les expressions du moment quadrupolaire se simplifient et {\displaystyle {\hat {Q}}} est diagonale.

Si on suppose la symétrie autour de l'axe {\displaystyle (Oz)}, alors la matrice des moments est {\displaystyle Q_{x,x}=Q_{y,y}=-Q_{o}/2} et {\displaystyle Q_{z,z}=Q_{o}}.

Si {\displaystyle q} n'est pas nul, on choisit {\displaystyle O} en {\displaystyle G}, et alors :

{\displaystyle V_{1}({\vec {r}})={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left({\frac {q}{r}}+{\frac {Q_{o}}{2r^{3}}}\cdot P_{2}(\cos \theta )\right)+o\left({\frac {1}{r^{3}}}\right)}, avec {\displaystyle P_{2}(x)={\frac {3x^{2}-1}{2}}} (3e polynôme de Legendre).

Ce théorème vaut en gravimétrie pour la Terre supposée de révolution. Dans ce cas, {\displaystyle Q_{o}=2(A-C)<0} ; l'usage est de poser {\displaystyle J_{2}={\frac {C-A}{Ma^{2}}}=1,08263\times 10^{-3}}.

Le potentiel terrestre est ainsi {\displaystyle V(M)=-{\frac {GM}{r}}+{\frac {GMaJ_{2}P_{2}(\cos \theta )}{r^{3}}}}.

Ce développement peut être poussé plus loin (développement en harmoniques sphériques; termes en {\displaystyle J_{4}} (octupolaire), {\displaystyle J_{6}}, etc.).