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Singleton (mathématiques) — Wikipédia

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En mathématiques, un singleton est un ensemble qui comprend exactement un élément. Le singleton dont l'élément est a se note {\displaystyle \left\{a\right\}}.

Soit S une classe définie par une fonction indicatrice

{\displaystyle b:X\to \{0,1\}.}

alors S est un singleton si et seulement s’il existe {\displaystyle y\in X} tel que pour tout {\displaystyle x\in X},

{\displaystyle b(x)=(x=y).}

La définition suivante vient de Alfred North Whitehead et Russell[1]

{\displaystyle \iota 'x={\hat {y}}(y=x)\mathbf {Df} .}

Le symbole ι'x désigne le singleton {x} et {\displaystyle {\hat {y}}(y=x)} désigne la classe des objets identiques à x, soit l'ensemble {y / y = x}.

Elle apparait comme une définition dans l'introduction, qui par la suite simplifie l'argument dans le texte principal, quand elle revient dans la proposition 51.01 (p.357 ibid.). Cette proposition est réutilisée pour définir le cardinal 1 comme

{\displaystyle 1={\hat {\alpha }}((\exists x)\alpha =\iota 'x)\mathbf {Df} .}

Ainsi, 1 est la classe des singletons. C'est la définition 52.01 (p.363 ibid.)

  • Un élément x appartient à un singleton si et seulement s’il est égal à l'élément de ce singleton :
{\displaystyle x\in \{a\}\Leftrightarrow x=a}.
{\displaystyle \{a\}=\{b\}\Leftrightarrow a=b}.
  • Deux singletons {a} et {b} sont disjoints si et seulement si leurs éléments respectifs a et b sont différents, ce qui revient à dire que les singletons disjoints sont les singletons différents :
{\displaystyle \{a\}\cap \{b\}=\emptyset \Leftrightarrow a\neq b\Leftrightarrow \{a\}\neq \{b\}.}
{\displaystyle \mathrm {card} (\{a\})=1.}
  • Le produit cartésien d'une famille quelconque de singletons est un singleton. Par exemple : {\displaystyle \{a\}\times \{b\}=\{(a,b)\}}.
  • Pour tout ensemble E :
    • pour tout singleton {a}, il n'y a qu'une application de E dans {a}, ou encore : l'ensemble {a}E des applications de E dans {a} est un singleton ;
    • l'ensemble E∅ des applications de l'ensemble vide dans E est un singleton.
  1. ↑ Alfred North Whitehead et Bertrand Russell, Principia Mathematica, vol. Vol. I, 1910, p. 37