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Soustraction — Wikipédia

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Illustration de la soustraction (ici 5 - 2 = 3)

La soustraction est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la multiplication et la division. La soustraction combine deux ou plusieurs grandeurs du même type, couramment appelés termes, pour produire un seul nombre, appelé la différence.

Le signe de la soustraction est le symbole « − », qui se lit « moins ». Par exemple, on lit 3 − 2 = 1 comme « trois moins deux égale un ».

On peut regarder la soustraction de deux manières différentes[1]:

Les éléments sur lesquelles porte la soustraction sont les termes de la soustraction et le résultat de la soustraction est nommée différence[2] : la différence entre {\displaystyle a} et {\displaystyle b} est le résultat de la soustraction {\displaystyle a-b}

On écrit {\displaystyle a-b=c} quand {\displaystyle c} est le nombre qu'il faut ajouter à {\displaystyle b} pour obtenir {\displaystyle a}, c'est-à-dire quand {\displaystyle a=b+c}. Il est parfois possible que la soustraction ne puisse pas être effectuée[2] : dans l'ensemble des entiers naturels, il est ainsi impossible de soustraire 9 à 2 car 2 est plus petit que 9.

Le même signe «{\displaystyle -}» est utilisé pour noter l'opposé d'un nombre : {\displaystyle -b} est l'opposé de {\displaystyle b}, c'est le nombre tel que {\displaystyle b+(-b)=(-b)+b=0} . Il ne faut pas confondre ces deux symboles, mais le contexte permettra toujours de les différencier.

Plaçons-nous désormais dans un ensemble de nombres {\displaystyle E} vérifiant :

Un tel ensemble sera ici dit à soustraction[réf. nécessaire]. Des exemples classiques de ce type d'ensemble sont {\displaystyle \mathbb {Z} } (les nombres entiers relatifs) et {\displaystyle \mathbb {R} } (les nombres réels). Mais {\displaystyle \mathbb {N} } (les nombres entiers naturels) ne vérifie cette propriété (car par exemple {\displaystyle -1\notin \mathbb {N} } alors que {\displaystyle 1\in \mathbb {N} }).

On montre alors que la soustraction est une opération définie sur {\displaystyle E} tout entier, et qu'on a en fait {\displaystyle a-b=a+(-b)}. En français, on peut alors dire que « soustraire c'est ajouter l'opposé ».

Propriétés algébriques :

  • {\displaystyle a-b=-b+a} ;
  • {\displaystyle -(a+b)=-a-b} ;
  • {\displaystyle -(a-b)=-a+b}.

Propriétés non respectées

Un point important est alors de gérer un enchainement d'opérations avec des «{\displaystyle +}» et des «{\displaystyle -}». Par exemple {\displaystyle 1-2+3-4}. En reprenant la règle générale indiquant que soustraire, c'est ajouter l'opposé, il suffit de traiter l'opération comme une succession d'additions {\displaystyle 1+(-2)+3+(-4).}. On peut donc alors développer des stratégies diverses:

Soit (G, +) un groupe abélien (ou commutatif). On définit une nouvelle loi de composition interne dans G, appelée « soustraction » et notée « − » par : {\displaystyle x-y=x+(-y)}. où {\displaystyle -y} est l'opposé de {\displaystyle y}.

L'utilisation d'un même signe, à savoir «{\displaystyle -}», pour

  1. l'opposé {\displaystyle -y} de {\displaystyle y} et
  2. l'opération binaire {\displaystyle x-y}

est un abus de notation

En termes algébriques, la soustraction :

Les propriétés mentionnées ci-dessus dans le cadre des ensembles de nombres à soustraction restent vraies ici.

  1. ↑
    • W Gellert, H. Küstner, M. Hellwich et H. Kästner, Petite Encyclopédie des mathématiques, Didier, 1980, p. 24
  2. ↑ a et b Encyclopédie Didier, p. 23.