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Spirale de Poinsot — Wikipédia

  • ️Tue Nov 20 2018

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Type borné ρ cosh(θ/3)=1.
Type asymptotique ρ sinh(θ/3)=1..
Logarithmique ρ = 1,19θ

Les spirales de Poinsot regroupent plusieurs spirales dont l'équation polaire s'exprime à l'aide d'inverses de fonctions hyperboliques. Le nom de ces spirales fait référence au mathématicien Louis Poinsot qui a rencontré l'une d'entre elles comme cas particulier d'herpolhodie, en 1851 [1].

Selon les auteurs, cette famille de spirales est plus ou moins large. Certains[2] considèrent comme étant une spirale de Poinsot toute spirale dont l'équation polaire s'écrit:

{\displaystyle \rho ={\frac {A}{a\cosh(k\theta )+b\sinh(k\theta )}}} avec a² + b² non nul

Cette famille regroupe trois sous-familles:

D'autres auteurs[3]excluent de cette famille les spirales logarithmes ne conservant que les spirales de type borné {\displaystyle \rho ={\frac {C}{\cosh(k\theta )}}} ou asymptotique {\displaystyle \rho ={\frac {C}{\sinh(k\theta )}}}.

D'autres enfin[4] ne conservent que la spirale de type borné.

Les spirales de Poinsot font partie des spirales de Cotes[2].

Son équation polaire se ramène à {\displaystyle \rho \cosh(k\theta )=C}.

L'angle entre le vecteur normal à la courbe en A et le vecteur radial est l'angle α tel que[5]:

{\displaystyle \tan \alpha =k\tanh(k\theta )}.

Le rayon de courbure a pour valeur[6] :

{\displaystyle R=\rho {\frac {{\sqrt {1+k^{2}\tanh ^{2}(k\theta )}}^{\,3}}{1+k^{2}}}}

La courbe de Poinsot bornée est la projection sur l'équateur d'une loxodromie de la sphère[2].

Son équation polaire se ramène à {\displaystyle \rho \sinh(k\theta )=C}.

Elle possède une asymptote d'équation y= K/k.

L'angle entre le vecteur normal à la courbe en A et le vecteur radial est l'angle α tel que[7]:

{\displaystyle \tan \alpha =k\coth(k\theta )}.

Le rayon de courbure a pour valeur[7]:

{\displaystyle R=\rho {\frac {{\sqrt {1+k^{2}\coth ^{2}(k\theta )}}^{\,3}}{1+k^{2}}}}

Les spirales de Cotes, qui englobent les spirales de Poinsot.

  1. ↑ Louis Poinsot, « Théorie nouvelle de la rotation des corps », Journal de mathématiques pures et appliquées 1re série, vol. 16,‎ 1851 (lire en ligne)
  2. ↑ a b et c MathcurvePoinsot.
  3. ↑ Tavares 2006, p. 66.
  4. ↑ Teixeira 1909.
  5. ↑ Formule déduite de Tavares 2006, p. 93 donnant la tangente de l'angle que fait la tangente avec le vecteur radial
  6. ↑ Formule déduite de Tavares 2006, p. 149
  7. ↑ a et b Formules déduites des précédentes en remplaçant cosh et sinh par sinh et cosh
  • Francisco Gomes Teixeira, Traité des courbes spéciales remarquables planes et gauches, t. 2, 1909
  • (pt) Dina dos Santos Tavares, As espirais na Obra de Francisco Gomes Teixeira, Universidade de Aveiro, 2006 (lire en ligne)
  • Robert Ferreol, « Spirale de Poinsot », sur Encyclopédie des formes mathématiques remarquables, 2014 (consulté le 20 novembre 2018)