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Ondelette de Haar — Wikipédia

  • ️Sat May 22 2010

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L'ondelette de Haar

L'ondelette de Haar, ou fonction de Rademacher, est une ondelette créée par Alfréd Haar en 1909[1]. On considère que c'est la première ondelette connue. Il s'agit d'une fonction constante par morceaux, ce qui en fait l'ondelette la plus simple à comprendre et à implémenter. L'ondelette de Haar peut être généralisée par ce qu'on appelle le système de Haar.

La fonction-mère des ondelettes de Haar est une fonction constante par morceaux :

{\displaystyle \psi (t)={\begin{cases}1&\quad {\textrm {pour}}\;\;0\leq t<{\frac {1}{2}},\\-1&\quad {\textrm {pour}}\;\;{\frac {1}{2}}\leq t<1,\\0&\quad {\textrm {sinon}}\\\end{cases}}}

La fonction d'échelle associée est alors une fonction porte :

{\displaystyle f(t)={\begin{cases}1&\quad {\textrm {pour}}\;\;0\leq t<1,\\0&\quad {\textrm {sinon}}\\\end{cases}}}

Le système de Haar est une suite de fonctions continues par morceaux, appartenant à {\displaystyle L^{p}([0,1])} pour {\displaystyle 1\leq p<+\infty }. Il est défini de la manière suivante, à partir des fonctions indicatrices :

  • {\displaystyle h_{1}(t)=1\!\!1_{[0;1]}(t)}
{\displaystyle h_{2^{k}+l}(t)=1\!\!1_{\left[{\frac {2l-2}{2^{k+1}}};{\frac {2l-1}{2^{k+1}}}\right]}(t)-1\!\!1_{\left[{\frac {2l-1}{2^{k+1}}};{\frac {2l}{2^{k+1}}}\right]}(t).}

Voici les représentations graphiques de h2 et de h3 :

Une des propriétés intéressantes du système de Haar est qu'il est une base de Schauder de {\displaystyle L^{p}([0,1])} pour {\displaystyle 1\leq p<+\infty } .

  1. ↑ (en) « Wavelets: seeing the Forest - and the Trees », sur www.beyonddiscovery.org (consulté le 22 mai 2010)