gl.wikipedia.org

Inmersión (matemáticas) - Wikipedia, a enciclopedia libre

  • ️Sat May 01 0979

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

A botella de Klein, inmersa nun espazo de dimensión 3.

En matemáticas, unha inmersión é unha función diferenciable entre variedades diferenciables cuxo pulo diferencial é inxectivo en tódalas partes.[1] Explicitamente, f : M → N é unha inmersión se

{\displaystyle D_{p}f:T_{p}M\to T_{f(p)}N\,}

é unha función inxectiva en cada punto p de M (onde TpX denota o espazo tanxente dunha variedade X nun punto p en X ). De forma equivalente, f é unha inmersión se a súa derivada ten rango constante igual á dimensión de M : [2]

{\displaystyle \operatorname {rank} \,D_{p}f=\dim M.}

A propia función f non ten por que ser inxectiva, só debe selo a súa derivada.

Un concepto relacionado é o de mergullo. Un mergullo suave é unha inmersión inxectiva f : M → N que tamén é unha mergullo topolóxico, polo que M é difeomorfo á súa imaxe en N. Unha inmersión é precisamente un mergullo local, é dicir, para calquera punto x ∈ M hai unha veciñanza, U ⊆ M, de x tal que f : U → N é un mergullo e, pola contra, un mergullo local é unha inmersión. [3] Para variedades de dimensións infinitas, ás veces considérase que esta é a definición dunha inmersión. [4]

Unha subvariedade inmersa inxectivamente que non é un mergullo.

Se M é compacta, unha inmersión inxectiva é un mergullo, mais se M non é compacto, as inmersións inxectivas non teñen por que ser mergullos; compare con bixeccións continuas versus homeomorfismos.

Unha homotopía regular entre dúas inmersións f e g dunha variedade M cara unha variedade N defínese como unha función diferenciable H : M × [0,1] → N tal que para todo t en [0, 1] a función Ht : M → N definida por Ht(x) = H(x, t) para todo x ∈ M é unha inmersión, con H0 = f, H1 = g. Unha homotopía regular é, polo tanto, unha homotopía mediante inmersións.

Hassler Whitney iniciou o estudo sistemático das inmersións e das homotopías regulares na década de 1940, demostrando que para 2m < n + 1 todo mapa f : M m → N n dunha variedade m-dimensional cara unha variedade n-dimensional é homotópico a unha inmersión, e de feito a un mergullo para 2m < n; estes son o teorema de inmersión de Whitney e o teorema do mergullo de Whitney.

Stephen Smale expresou as clases de homotopías regulares de inmersións {\displaystyle f:M^{m}\to \mathbb {R} ^{n}} como os grupos de homotopía dunha determinada variedade de Stiefel. A eversión da esfera foi unha consecuencia especialmente rechamante.

Morris Hirsch xeneralizou a expresión de Smale nunha descrición na teoría da homotopía das clases regulares de inmersións de homotopía de calquera variedade m-dimensional M m en calquera variedade n-dimensional N n.

A clasificación de inmersións de Hirsch-Smale foi xeneralizada por Mikhail Gromov.

A banda de Möbius non inmersiona na codimensión 0 porque o seu fibrado tanxente non é trivial.

A obstrución principal á existencia dunha inmersión {\displaystyle i:M^{m}\to \mathbb {R} ^{n}} é o fibrado normal estable de M, tal e como detectan as súas clases características, especialmente as súas Clase de Stiefel-Whitney. É dicir, xa que {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} é paralelizable, a regresión do seu fibrado tanxente a M é trivial; xa que esta regresión é a suma directa do fibrado tanxente (definido intrínsecamente) sobre M, TM, que ten dimensión m, e do fibrado normal ν da inmersión i, que ten dimensión n − m, para que exista unha codimensión k inmersión de M, debe haber un fibrado vectorial de dimensión k, ξ k, substituíndo ao feibrado normal ν, tal que {\displaystyle TM\oplus \zeta ^{k}} é trivial. Pola contra, dado un fibrado deste tipo, unha inmersión de M con este fibrado normal equivale a unha inmersión de codimensión 0 do espazo total deste fibrado, que é unha variedade aberta.

As inmersións de codimensión 0 son equivalentemente submersións de dimensión relativa 0, e pódense pensar mellor como submersións. Unha inmersión de codimensión 0 dunha variedade pechada é precisamente un mapa de cobertura, é dicir, un fibrado con fibra (discreta) de dimensión 0. Segundo o teorema de Ehresmann e o teorema de Phillips sobre as submersións, unha submersión propia de variedades é un fibrado, polo que as inmersións/submersións de codimensión/dimensión relativa 0 compórtanse como submersións.

Un punto k-tupla (duplo, triplo, etc.) dunha inmersión f : M → N é un conxunto non ordenado {x1, ..., xk} de distintos puntos xi ∈ M coa mesma imaxe f(xi) ∈ N. Se M é unha variedade m-dimensional e N é unha variedade n-dimensional daquela para unha inmersión f : M → N en posición xeral o conxunto de puntos das k-tuplas é unha variedade (n − k(n − m))-dimensional. Todo mergullo é unha inmersión sen múltiples puntos (onde k > 1). Teña en conta, porén, que a inversa é falsa: hai inmersións inxectivas que non son mergullos.

A natureza dos puntos múltiples clasifica as inmersións; por exemplo, as inmersións dun círculo no plano clasifícanse ata a homotopía regular polo número de puntos duplos.

O cuadrifolio, a rosa de 4 pétalos.

  • Boy's surface

  • Superficie de Morin

Esta curva ten curvatura total 6π, e índice de voltas 3, aínda que só ten un índice de curva 2 sobre p.

As curvas planas inmersas teñen un índice de voltas ben definido, que se pode definir como a curvatura total dividida por 2π. Este valor é invariante baixo a homotopía regular polo teorema de Whitney-Graustein; topoloxicamente, é o grao do mapa de Gauss, ou equivalentemente, o índice da curva da tanxente unitaria (que non desaparece) sobre a orixe. Alén diso, son un conxunto completo de invariantes: dúas curvas planas calquera co mesmo índice topolóxico son homotópicas regulares.

  1. ↑ Esta definición está dada por Bishop & Crittenden 1964, Darling 1994, do Carmo 1994, Frankel 1997, Gallot, Hulin & Lafontaine 2004, Kobayashi & Nomizu 1963, Kosinski 2007, Szekeres 2004.
  2. ↑ Esta definición está dada por Crampin & Pirani 1994, Spivak 1999.
  3. ↑ Esta definición, baseada en difeomorfismos locais está dada por Bishop & Goldberg 1968, Lang 1999.
  4. ↑ Este tipo de definición para infinitas dimensións está dada por Lang 1999.