gl.wikipedia.org

Raíz (matemáticas) - Wikipedia, a enciclopedia libre

1000 12/16

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

Para outras páxinas con títulos homónimos véxase: Raíz (homónimos).

En Matemáticas, a raíz enésima dun número x é un número r que elevado á enésima potencia é igual a x

{\displaystyle r^{n}=x,}

onde n é o índice da raíz. Unha raíz de índice 2 chámase raíz cadrada e a de índice 3, raíz cúbica. As raíces de índice superior chámanse empregando o ordinal, como raíz cuarta ou raíz quinta.

Por exemplo:

  • 2 é a raíz cadrada de 4, porque 22 = 4.
  • −2 tamén é raíz cadrada de 4, porque (−2)2 = 4.

Na análise matemática, as raíces son tratadas como un caso particular de potenciación, onde o exponente é unha fracción:

{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}\,=\,x^{1/n}}

As raíces adoitan ser escritas empregando o símbolo {\displaystyle {\sqrt {\,\,}}}, con {\displaystyle {\sqrt {x}}\!\,} indicando unha raíz cadrada, {\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}\!\,} unha raíz cúbica, {\displaystyle {\sqrt[{4}]{x}}} unha raíz cuarta e así sucesivamente. Na expresión {\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}, n é o índice e x é o radicando. Calquera expresión que conteña unha raíz é chamada expresión radical.

A orixe do símbolo de raíz √ é dubidosa. Moitos expertos, incluíndo Leonhard Euler,[1] cren que procede da letra "r", inicial da palabra latina "radix", que significa "raíz". O símbolo aparece impreso por vez primeira, sen o trazo horizontal, en 1525 na obra Die Coss do matemático alemán Christoff Rudolff.

As catro raíces cuartas de -1, ningunha delas real
As tres raíces cúbicas de −1,
unha delas real negativa

Todos os números reais positivos teñen raíz real enésima. Se o índice da raíz é impar esta raíz é un único número positivo. Se o índice é par a raíz é dobre (un número e o seu oposto).

Os números reais negativos non teñen raíz real se o índice da raíz é par e teñen como raíz un único número real negativo se o índice da raíz é impar.

A raíz dun número real que non sexa potencia perfecta é un número irracional.

Un número complexo distinto de 0 ten n raíces distintas de índice n.

Os números reais cumpren:

{\displaystyle {\sqrt[{n}]{ab}}={\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}\,,}
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}\,.}
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{m}}}=\left(a^{m}\right)^{\frac {1}{n}}=a^{\frac {m}{n}}.}

Porén, pode haber problemas no caso dos números complexos. Por exemplo:

{\displaystyle {\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}=-1}

pero

{\displaystyle {\sqrt {-1\times -1}}=1}

se tomamos un certo valor da raíz.

Unha expresión radical está simplificada se[2]

  • Ningún factor do radicando pode ser escrito como potencia de expoñente maior có índice da raíz.
  • Non hai fraccións baixo o símbolo de raíz.
  • Non hai expresións radicais no denominador.

Por exemplo, para simplificar a expresión {\displaystyle {\sqrt {\tfrac {32}{5}}}} podemos buscar un cadrado perfecto dentro da raíz e sacalo fóra:

{\displaystyle {\sqrt {\tfrac {32}{5}}}={\sqrt {\tfrac {16\cdot 2}{5}}}=4{\sqrt {\tfrac {2}{5}}}}

Logo, ao haber unha fracción no radical cambiamos como segue:

{\displaystyle 4{\sqrt {\tfrac {2}{5}}}={\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}}

Finalmente quitamos a raíz do denominador:

{\displaystyle {\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}={\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}\cdot {\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {5}}}={\frac {4{\sqrt {10}}}{5}}}

Cando no denominador hai unha suma de raíces pódese atopar un factor polo que multiplicar numerador e denominador para simplificar a expresión, o que se denomina racionalizar:

{\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}}}}={\frac {{\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}}{({\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}})({\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}})}}={\frac {{\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}}{a+b}}\,.}

A raíz pode ser representada coa serie:

{\displaystyle (1+x)^{s/t}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\prod _{k=0}^{n-1}(s-kt)}{n!t^{n}}}x^{n}}

con {\displaystyle |x|<1}.

Sexa n un número natural non nulo. A aplicación x → xn define unha función, de {\displaystyle \mathbb {R} } en {\displaystyle \mathbb {R} } se n é impar, e de {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}=[0,\infty ]} se {\displaystyle n} é par. Chámase raíz enésima, ou raíz de índice[3] n á súa función inversa, e indícase: {\displaystyle y={\sqrt[{n}]{x}}=x^{1/n}}.

No gráfico seguinte, están debuxadas as gráficas das funcións definidas por algunhas raíces, así como das súas funcións recíprocas, no intervalo [0;1]. A recta de ecuación y = x é o eixe de simetría entre cada curva e a curva da súa inversa.

Cambiando de escala:

  1. ↑ Euler, Leonhard (1755). Institutiones calculi differentialis.
  2. ↑ McKeague, Charles P. (2011). Elementary algebra. p. 470.
  3. ↑ Masa Vázquez, Xosé M.; Fortes López, Belén (1995). Servicio de Normalización Lingüística da Universidade de Santiago de Compostela, ed. Vocabulario de Matemáticas. Santiago de Compostela. ISBN 84-8121-369-1.