he.wikipedia.org

פונקטור – ויקיפדיה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, ובמיוחד בתורת הקטגוריות, פונקטור (נקרא גם העתקן) הוא סוג מיוחד של העתקה בין קטגוריות.

פונקטורים הוגדרו לראשונה בטופולוגיה אלגברית, שם שויכו מבנים אלגבריים למרחבים טופולוגיים (למשל החבורה היסודית), והומומורפיזמים אלגבריים שויכו לפונקציות רציפות. כיום, פונקטורים קיימים בכל תחומי המתמטיקה, והם מאפשרים ליצור קשרים בין תחומים מתמטיים שונים.

את המונח טבע רודולף קרנפ, והוא אומץ על ידי אחד ממייסדי תורת הקטגוריות, סאונדרס מק'ליין.

יהיו {\displaystyle {\mathcal {C}}} ו-{\displaystyle {\mathcal {D}}} שתי קטגוריות. פונקטור קו-וריאנטי {\displaystyle F} מ-{\displaystyle {\mathcal {C}}} ל-{\displaystyle {\mathcal {D}}} הוא המידע הבא:

כך שהתכונות הבאות מתקיימות:

במילים אחרות, הפונקטור משמר את מורפיזם הזהות ואת פעולת הרכבת המורפיזמים.

העתקה בין שתי קטגוריות {\displaystyle G:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}} המקיימת את כל התכונות של פונקטור, פרט לכך שעבור מורפיזמים היא פועלת בכיוון ההפוך,

נקראת פונקטור קונטרה-וריאנטי.

  • ההעתקה {\displaystyle F:\mathbf {Grp} \to \mathbf {Set} } מקטגורית החבורות לקטגורית הקבוצות, המעתיקה חבורה לקבוצת האיברים שלה, ומעתיקה הומומורפיזם בין חבורות למורפיזם בין קבוצות המגדיר אותו, הוא פנקטור קווריאנטי. פונקטורים מהצורה הזאת, אשר שוכחים חלק מהמבנה של האובייקטים והמורפיזמים בקטגוריה, נקראים פונקטורים שוכחים.
  • ההעתקה המתאימה לכל מרחב וקטורי את המרחב הדואלי לו, ולכל העתקה ליניארית את ההעתקה הצמודה לה היא פונקטור קונטרה וריאנטי מהקטגוריה של מרחבים וקטורים לעצמה.

יהיו {\displaystyle {\mathcal {C}}} ו-{\displaystyle {\mathcal {D}}} קטגוריות קטנות מקומית (כלומר: אוסף המורפיזמים בין כל שני עצמים בקטגוריה הוא קבוצה קטנה). יהי {\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}} פונקטור מ-{\displaystyle {\mathcal {C}}} ל-{\displaystyle {\mathcal {D}}}. הפונקטור {\displaystyle F} משרה פונקציה בין קבוצות

{\displaystyle F_{X,Y}\colon \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y)\rightarrow \mathrm {Hom} _{\mathcal {D}}(F(X),F(Y))}

לכל זוג עצמים {\displaystyle X} ו-{\displaystyle Y} ב-{\displaystyle {\mathcal {C}}}.

הפונקטור נקרא:

עבור שני פונקטורים {\displaystyle F,G:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}}, העתקה טבעית {\displaystyle \eta :F\rightarrow G} מתאימה לכל אובייקט {\displaystyle X\in {\mathcal {C}}} מורפיזם {\displaystyle \eta _{X}:F(X)\rightarrow G(X)} כך שלכל מורפיזם {\displaystyle f:X\rightarrow Y} ב-{\displaystyle {\mathcal {C}}} מתקיים {\displaystyle \eta _{Y}\circ F(f)=G(f)\circ \eta _{X}}.

התנאי הזה שקול לכך שהדיאגרמה הבאה קומוטטיבית

אם לכל {\displaystyle X} ההעתקה {\displaystyle \eta _{X}} היא איזומורפיזם ב-{\displaystyle D}, אז ההעתקה נקראת איזומורפיזם טבעי והפנקטורים {\displaystyle F,G} נקראים איזומורפים.