he.wikipedia.org

נסג – ויקיפדיה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

בטופולוגיה אלגברית, נסג (Retract) של מרחב טופולוגי הוא תת-מרחב אליו אפשר לסגת מהמרחב כולו על ידי פונקציה רציפה. נסג עיוותי (Deformation retract) הוא, אינטואיטיבית, תת-מרחב אליו ניתן להשתנות (או להתעוות) מהמרחב כולו בצורה רציפה.

אחת השאלות הבסיסיות בטופולוגיה אלגברית היא אילו תתי מרחבים של מרחב טופולוגי הם נסג/נסג עיוותי שלו.

יהי {\displaystyle X} מרחב טופולוגי, ו-{\displaystyle A\subseteq X} תת-מרחב שלו. נאמר כי {\displaystyle A} הוא נסג של {\displaystyle X}, אם קיימת העתקה רציפה {\displaystyle r:X\rightarrow A} כך ש-{\displaystyle \forall a\in A:r(a)=a}. המיפוי {\displaystyle r} נקרא לעיתים נסיגה.

בשקילות, אם נסמן ב-{\displaystyle i_{A}} את העתקת ההכלה {\displaystyle i:A\rightarrow X,i(a)=a} יש לדרוש כי {\displaystyle r\circ i_{A}=id_{A}}, פונקציית הזהות על {\displaystyle A}.


{\displaystyle A} ייקרא נסג עיוותי (Deformation retract) אם קיימת הומוטופיה {\displaystyle H:X\times [0,1]\rightarrow X} כך ש-

{\displaystyle \forall x\in X:H(x,0)=x}

{\displaystyle \forall a\in A,t\in [0,1]:H(a,t)=a}

{\displaystyle \forall x\in X:H(x,1)\in A}

ההומוטפיה {\displaystyle H} נקראת לעיתים נסיגה עוויתית. במילים אחרות, {\displaystyle H} כזו היא הומוטופיה בין העתקת הזהות והעתקת נסיגה.


הערה: לעיתים בהגדרת נסג עיוותי מחלישים את הדרישה השנייה ל-{\displaystyle \forall a\in A:H(a,1)=a}, ואז להגדרה לעיל קוראים נסג עיוותי חזק. לאורך הערך נעסוק רק בנסג עיוותי חזק, וכאן הוא ייקרא פשוט נסג עיוותי.

קיים קשר הדוק בין נסגים לבין החבורה היסודית הראשונה של מרחב קשיר מסילתית {\displaystyle X} סביב (כל) נקודה {\displaystyle a}, אותה נסמן {\displaystyle {\pi }_{1}(X,a)}.

ראשית, אם {\displaystyle A\subseteq X} נסג ו-{\displaystyle i:A\rightarrow X} העתקת ההכלה, אז ההעתקה {\displaystyle {i}_{*}:{\pi }_{1}(A,a)\rightarrow {\pi }_{1}(X,a)}, הנתונה על ידי {\displaystyle {i}_{*}([\phi ])=[i\circ \phi ]} היא חד חד ערכית. יתרה מזאת, אם {\displaystyle A} נסג עיוותי, {\displaystyle {i}_{*}} איזומורפיזם חבורות. כלומר - למרחב טופולוגי ולנסג עיוותי שלו אותה חבורה יסודית.

טענות אלו עוזרות להראות למשל שתתי מרחבים מסוימים אינם מהווים נסג (ראו דוגמאות).