hu.wikipedia.org

Einstein-egyenletek – Wikipédia

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Riemann-geometriában a tér metrikáját a metrikus tenzor ({\displaystyle g_{\mu \nu }}) határozza meg. Az általános relativitáselméletben a tömeg térbeli eloszlása határozza meg a metrikus tenzort. Az ezen összefüggést leíró tenzoregyenletet (ami 10 független skalár egyenletet jelent) hívjuk Einstein-egyenleteknek.

Az Einstein-egyenletek matematikai alakja a következő:

{\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=-{\frac {8\pi G}{c^{2}}}T_{\mu \nu }}

ahol {\displaystyle G_{\mu \nu }} az Einstein-tenzor, {\displaystyle \Lambda \,} a kozmológiai állandó (amit élete legnagyobb tévedésének nevezett), {\displaystyle G\,} a gravitációs állandó, {\displaystyle c\,} a fénysebesség, {\displaystyle T_{\mu \nu }} pedig az energia-impulzus tenzor.

Ezt először Albert Einstein közölte 1915-ben.[1] Az Einstein-tenzor kifejezhető a Riemann-féle görbületi tenzor nyomával, a Ricci-tenzorral a következő alakú (ezt 1915 végén Einsteintől függetlenül David Hilbert is levezette):

{\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{1 \over 2}Rg_{\mu \nu }}

Tehát az Einstein-egyenletek teljes alakja:

{\displaystyle R_{\mu \nu }-{1 \over 2}Rg_{\mu \nu }+g_{\mu \nu }\Lambda ={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }}

A fenti tenzoregyenlet négy dimenzióban (3 tér- és 1 időváltozó esetén) 16 skaláregyenletet jelent. Az Einstein-egyenletek szimmetriája miatt ezek közül csak 10 független. Ez a 10 független egyenlet egy nemlineáris parciális differenciálegyenlet-rendszert alkot, melynek megoldása szolgáltatja a gravitáció modern fizikáját.

Vákuum esetén (tehát ha nincs anyag a téridőben) az Einstein-egyenletek jobb oldala zérus. Ekkor tehát

{\displaystyle R_{\mu \nu }={1 \over 2}R\,g_{\mu \nu }\,.}

Ezt {\displaystyle g^{\mu \nu }}-vel összeejtve

{\displaystyle R={1 \over 2}R\,4=2R\,}

adódik, ahonnan

{\displaystyle R=0\,}

következik. Visszahelyettesítve az eredeti egyenletbe a következőt kapjuk

{\displaystyle R_{\mu \nu }=0\,.}

Ezek az általános relativitáselmélet üres-tér egyenletei. Ezen egyenletek megoldásai szolgáltatják az összes vákuum-megoldásokat. Például a Schwarzschild vagy a Kerr megoldásokat.

  1. ↑ Einstein, Albert (1915. november 25.). „Die Feldgleichungen der Gravitation”. Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 844–847. o. [2016. október 27-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2006. szeptember 12.)