hu.wikipedia.org

Homeomorfia – Wikipédia

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

(Homeomorf szócikkből átirányítva)

Egy folyamatos deformálás egy bögre és egy fánk között jól illusztrálja, hogy homeomorfak. Azonban nem szükséges a homeomorfia szempontjából az egymásba deformálhatóság

A topológiában a homeomorfia vagy topológiai izomorfia (a homoios ~ hasonló és a μορφή (morphē) görög szavakból) egy speciális izomorfia topológiai terek között. Két egymással homeomorf tér topológiai szempontból azonos.

Durván fogalmazva egy topológiai tér egy geometriai objektumnak tekinthető, és a homeomorfizmus egy folytonos deformálás (nyújtás, hajlítás stb.), mely egy másik objektummá alakítja. Így például egy kör és egy négyzet homeomorf, sőt egy bögre és egy fánk is (feltéve, hogy a fánk lyukas). De például egy gömb és egy fánk nem (a „lyukasztás” nem megengedett).

Az f függvényt X és Y topológiai terek között homeomorfizmusnak hívjuk, ha

Ha létezik ilyen függvény, X és Y között, akkor e két teret homeomorfnak mondjuk. A homeomorfizmus ekvivalenciareláció a topológiai terek osztályán. Ezt az ekvivalenciaosztályt homeomorf osztálynak hívjuk.

Ez a háromlevelű csomó homeomorf a tórusszal. Bár megfoghatatlannak tűnhet, 4 dimenzióban tényleg egymásba deformálhatóak
  • A körlap és a négyzet(lap) az euklideszi síkon (R2) homeomorf (a körlap polárkoordinátázása ugyanis homeomorfizmus)
  • A (-1;1) nyílt intervallum homeomorf a valós számok halmazával (például az {\displaystyle {\frac {2}{\pi }}\,\mathrm {arctg} \,(x)} függvény homeomorfizmus a két halmaz között)
  • Minden egyenletesen folytonos bijekció (melynek inverze is egyenletesen folytonos), minden bi-Lipschitz bijekció és minden távolságtartó bijekció homeomorfizmus (hiszen ezeknél a folytonossági kitétel közvetlen következmény).
  • A gömbfelület egy pontját elhagyva homeomorf a síkkal (a sztereografikus projekció alkalmas homeomorf leképezés)
  • Rn és Rm nem homeomorfak, ha n ≠ m (például ez R2 és R3 tekintetében azt jelentené ugyanis, hogy minden gráf síkban rajzolható lenne.)

A harmadik követelmény (miszerint az inverz függvény is folytonos) lényeges. Van ugyanis olyan függvény, mely bijektív, folytonos de az inverze nem folytonos. Vegyük például az f : [0, 2π) → S1, f(φ) = (cos(φ), sin(φ)) leképezést. Világos, hogy ennek az inverze nem folytonos, hiszen a (1,0) pontnak nem találunk olyan környezetét, mely a 0 pont 1 sugarú környezetébe képeződne.

A homeomorfizmusok a topologikus terek kategóriájának izomorfizmusai. Két homeomorfizmus kompozíciója is homeomorfizmus és egy X teret saját magára képező homeomorfizmusok (X → X) halmaza, a topologikus automorfizmusok csoportot alkotnak, melyet az X homeomorfizmus csoportjának hívnak. Ezt gyakran Homeo(X)-szel jelölik.

Az egymásba deformálhatóság (nyújtás, hajlítás, vágás, ragasztás) megfelelő alkalmazása kis tapasztalatot igényel – talán nem egyértelmű a definícióból, de egy szakaszt nem lehet ponttá deformálni. Továbbá fontos megjegyezni, hogy a fent megadott formális definíció a mérvadó.

A homeomorfizmust ezen karakterisztikája miatt gyakran összetévesztik a homotópiával, ami egy folytonos deformálásnak van definiálva, de függvények között, nem pedig terek között. A homeomorfizmusnál a deformálás elképzelése csak segíti nyomon követni egy X-beli pont helyét az Y-ban – elég csak a deformálás során bejárt útját figyelni. A homotópiában ténylegesen a deformálásról van szó, valamint sokkal gyengébb feltételeket szab, hisz ott egyik függvénynek sem kell bijektívnek lenni.

A homeomorfia szemléltetéséhez adott deformálásnak nevet is adtak (ha a vágás és visszaragasztás nem megengedett): izotópiának hívják az X-beli identitás és az X-ből Y-ba képzett homeomorfizmus között.