hu.wikipedia.org

Legendre-szimbólum – Wikipédia

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Legendre-szimbólum a számelmélet egyik hasznos eszköze. Adrien-Marie Legendre francia matematikus (1752–1833) vezette be Essai sur la Thérie des Nombres c. 1798-as munkájában.

Ha {\displaystyle p} prímszám és {\displaystyle a} egész szám, akkor az {\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)} Legendre-szimbólum értéke:

A Legendre-szimbólumot tulajdonságai gyorsan számolhatóvá teszik:

  1. {\displaystyle \left({\frac {ab}{p}}\right)=\left({\frac {a}{p}}\right)\left({\frac {b}{p}}\right)} (felső változójában teljesen multiplikatív függvény)
  2. Ha {\displaystyle a\equiv b{\pmod {p}}}, akkor {\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)=\left({\frac {b}{p}}\right)}
  3. {\displaystyle \left({\frac {1}{p}}\right)=1}
  4. Ha {\displaystyle p} páratlan prím, akkor {\displaystyle \left({\frac {-1}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p-1}{2}}}, azaz 1, ha {\displaystyle p\equiv 1{\pmod {4}}} és – 1, ha {\displaystyle p\equiv 3{\pmod {4}}}
  5. Ha {\displaystyle p} páratlan prím, akkor {\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p^{2}-1}{8}}}, ami 1, ha {\displaystyle p\equiv 1} vagy {\displaystyle 7{\pmod {8}}\,} és – 1, ha {\displaystyle p\equiv 3} vagy {\displaystyle 5{\pmod {8}}\,}
  6. Ha {\displaystyle p} és {\displaystyle q} páratlan prímszámok, akkor {\displaystyle \left({\frac {q}{p}}\right)=\left({\frac {p}{q}}\right)(-1)^{{\frac {p-1}{2}}\cdot {\frac {q-1}{2}}}}

Az utóbbi állítás a kvadratikus reciprocitás tétele.

Fontos tulajdonság még az Euler-kritérium:

{\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)\equiv a^{\frac {p-1}{2}}{\pmod {p}}}

A Legendre-szimbólum fontos példa Dirichlet-karakterre.

A Jacobi-szimbólum a Legendre-szimbólum általánosítása összetett számokra.