hy.wikipedia.org

Անընդհատ ֆունկցիա - Վիքիպեդիա

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից

Անընդհատ ֆունկցիա , {\displaystyle [a,b]} հատվածի վրա որոշված մեկ իրական փոփոխականի

{\displaystyle y=f(x)}

ֆունկցիան կոչվում է անընդհատ {\displaystyle [a,b]}-ի {\displaystyle x_{0}} կետում, եթե

{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)}

սահմանը գոյություն ունի և հավասար է {\displaystyle f(x_{0})}–ի, կամ, համարժեքորեն, եթե յուրաքանչյուր {\displaystyle \varepsilon >0} թվի համար գոյություն ունի այնպիսի {\displaystyle \delta >0} թիվ, որ

{\displaystyle |x-x_{0}|<\delta }

անհավասարությունից հետևում է

{\displaystyle |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon },

որտեղ {\displaystyle x\in [a,b]}։

Եթե {\displaystyle f(x)}–ն անընդհատ չէ {\displaystyle x_{0}} կետում, ապա կոչվում է խզվող այդ կետում։

Ֆունկցիան անընդհատ է {\displaystyle [a,b]}-ում, եթե այն անընդհատ է {\displaystyle [a,b]}-ի յուրաքանչյուր կետում։ Համանման եղանակով սահմանվում է նաև մի քանի իրական փոփոխականների ֆունկցիաների անընդհատությունը։ Բոլոր տարրական ֆունկցիաներն անընդհատ են իրենց որոշման տիրույթներում։

Մասնավորաբար, բազմանդամը, {\displaystyle \sin x,\cos x,a^{x}(a>0)} և այլն ֆունկցիաներն անընդհատ են թվային առանցքի յուրաքանչյուր կետում։ Եթե {\displaystyle f(x)}, {\displaystyle g(x)} ֆունկցիաներն անընդհատ են {\displaystyle [a,b]}-ում, ապա

{\displaystyle f(x)\cdot g(x),f(x)+g(x),\alpha f(x)}

ֆունկցիաները, որտեղ {\displaystyle \alpha }-ն իրական թիվ է, ևս անընդհատ են {\displaystyle [a,b]}-ում։

Եթե բացի այդ {\displaystyle g(x)}–ը զրո չի դառնում {\displaystyle [a,b]}-ի ոչ մի կետում, ապա

{\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}}-ը ևս անընդհատ է {\displaystyle [a,b]}-ում։

Եթե {\displaystyle f(x)} ֆունկցիան անընդհատ է {\displaystyle [a,b]}-ում, ապա գոյություն ունեն {\displaystyle [a,b]}–ի այնպիսի {\displaystyle c} և {\displaystyle d} կետեր, որ կամայական {\displaystyle x\in [a,b]} կետի համար {\displaystyle f(c)\leqslant f(x)\leqslant f(d)}, ընդ որում {\displaystyle f(x)}–ն ընդունում է {\displaystyle [f(c),f(d)]} հատվածին պատկանող յուրաքանչյուր արժեք։ Անընդհատ ֆունկցիան կարելի է հավասարաչափ մոտարկել բազմանդամներով։

Պարզվում է, որ այդ հատկությունը բնորոշ է միայն անընդհատ ֆունկցիայի համար, և այն կարելի է դնել հատվածում անընդհատ ֆունկցիայի սահմանման հիմքում («կոնստրուկտիվ» սահմանում)։

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 1, էջ 404)։