it.wikipedia.org

Alternativa di Fredholm - Wikipedia

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In matematica, l'alternativa di Fredholm, il cui nome è dovuto a Ivar Fredholm, è uno dei teoremi di Fredholm, che si inserisce nel contesto della teoria di Fredholm. L'enuciato mostra che un numero complesso non nullo o è un autovalore di un operatore compatto oppure è nel relativo risolvente.

Il teorema può essere enunciato in diversi modi, in quanto la sua formulazione può essere svolta nell'ambito dell'algebra lineare, delle equazioni integrali o nella teoria degli operatori di Fredholm.

Sia {\displaystyle V} uno spazio vettoriale di dimensione n e {\displaystyle T:V\to V} una trasformazione lineare. Allora vale esattamente una delle seguenti affermazioni:

Una formulazione che utilizza le matrici afferma in modo equivalente che data una matrice {\displaystyle A} di dimensione {\displaystyle m\times n} ed un vettore colonna {\displaystyle \mathbf {b} } di dimensione {\displaystyle m\times 1}, vale esattamente una delle seguenti affermazioni:

Ovvero, {\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} } ha soluzione (cioè {\displaystyle \mathbf {b} \in \operatorname {Im} (A)}) se e solo se per ogni {\displaystyle \mathbf {y} } tale che {\displaystyle A^{T}\mathbf {y} =\mathbf {0} } si ha {\displaystyle \mathbf {y} ^{T}\mathbf {b} =0}, cioè {\displaystyle \mathbf {b} \in \ker(A^{T})^{\bot }}.

L'alternativa può essere espressa dicendo che, dato un operatore compatto {\displaystyle T}, e dato {\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} -\{0\}}, o {\displaystyle T\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} } possiede una soluzione diversa da zero oppure {\displaystyle (T-\lambda I)\mathbf {v} =f} ha soluzione unica per qualsiasi scelta di {\displaystyle f}, che equivale a dire che o {\displaystyle \lambda } è un autovalore (cioè un elemento dello spettro puntuale) oppure {\displaystyle (T-\lambda I)^{-1}} è limitato, cioè {\displaystyle \lambda } è nel dominio dell'operatore risolvente. Nell'ambito delle equazioni integrali questo viene espresso considerando l'equazione integrale di Fredholm:

{\displaystyle \phi (x)-\lambda \int _{a}^{b}K(x,y)\phi (y)\,dy=0}

dove se {\displaystyle K(x,y)} è un nucleo integrale liscio l'operatore integrale così definito è compatto. Data l'equazione non omogenea:

{\displaystyle \phi (x)-\lambda \int _{a}^{b}K(x,y)\phi (y)\,dy=f(x)}

l'alternativa di Fredholm afferma che per ogni numero complesso non nullo {\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} } o la prima equazione ha una soluzione non banale oppure la seconda ha una soluzione per ogni {\displaystyle f(x)}, e questo vale anche per le rispettive relazioni complesse coniugate:

{\displaystyle \psi (x)-{\bar {\lambda }}\int _{a}^{b}{\overline {K(x,y)}}\psi (y)\,dy=0\qquad \psi (x)-{\bar {\lambda }}\int _{a}^{b}{\overline {K(x,y)}}\psi (y)\,dy=g(x)}

Una condizione sufficiente per la validità del teorema è che {\displaystyle K(x,y)} sia quadrato sommabile sul rettangolo {\displaystyle [a,b]\times [a,b]} (dove gli estremi possono essere illimitati).

Attraverso gli operatori di Fredholm si generalizza il teorema a spazi di Banach di dimensione arbitraria. In modo informale, la corrispondenza tra la versione dell'enunciato in algebra lineare e quello per le equazioni integrali si mostra ponendo:

{\displaystyle T(x,y)=\lambda \delta (x-y)-K(x,y)}

con {\displaystyle \delta (x-y)} la delta di Dirac. L'operatore {\displaystyle T} può essere visto come un operatore lineare che agisce su uno spazio di Banach {\displaystyle V} di funzioni {\displaystyle \phi (x)}, sicché {\displaystyle T:V\to V} è dato dalla mappa {\displaystyle \phi \mapsto \psi }, con {\displaystyle \psi } fornito da:

{\displaystyle \psi (x)=\int _{a}^{b}T(x,y)\phi (y)\,dy}

Il teorema stabilisce che dato un operatore lineare continuo {\displaystyle T:E\to E} fra spazi di Banach, e detto {\displaystyle T^{*}:E^{*}\to E^{*}} l'operatore nello spazio duale, o esistono soluzioni uniche per:

{\displaystyle T(x)=y\qquad T^{*}(f)=g\quad x,y\in E\quad f,g\in E^{*}}

oppure le equazioni omogenee:

{\displaystyle T(x)=0\qquad T^{*}(f)=0\quad x\in E\quad f\in E^{*}}

hanno lo stesso numero {\displaystyle n<\infty } di soluzioni linearmente indipendenti.

Siano {\displaystyle x_{1},\dots x_{n}} e {\displaystyle f_{1},\dots f_{n}} le soluzioni delle equazioni omogenee. Allora, date due soluzioni particolari {\displaystyle x'} e {\displaystyle f'} delle equazioni non omogenee, la soluzione generale di queste ultime è la somma di una soluzione particolare e di una combinazione lineare di soluzioni (linearmente indipendenti) della relativa equazione omogenea:

{\displaystyle x=x'+\sum _{1}^{n}c_{i}x_{i}\qquad f=f'+\sum _{1}^{n}c_{i}f_{i}}

con {\displaystyle c_{1},\dots ,c_{n}} coefficienti arbitrari.

L'alternativa di Fredholm si applica a un operatore se e solo se esso può essere scritto come la somma di un operatore compatto e di un operatore con inverso continuo.

  • E.I. Fredholm, "Sur une classe d'equations fonctionnelles", Acta Math., 27 (1903) pp.  365–390.
  • A. G. Ramm, "A Simple Proof of the Fredholm Alternative and a Characterization of the Fredholm Operators", American Mathematical Monthly, 108 (2001) p.  855.
  • V.I. Smirnov, A course of higher mathematics , 4 , Addison-Wesley (1964)
  • V.S. Vladimirov, Equations of mathematical physics , MIR (1984)
  • L.V. Kantorovich, G.P. Akilov, Functional analysis in normed spaces , Pergamon (1964)