it.wikipedia.org

Disuguaglianza - Wikipedia

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In matematica una disuguaglianza (o diseguaglianza) è una relazione d'ordine totale sull'insieme dei numeri reali o su un suo sottoinsieme, stabilisce cioè una relazione tra i numeri usando i simboli di disuguaglianza, che sono:^[1]

$<$ (minore)
$>$ (maggiore)
$\leq$ (minore o uguale)
$\geq$ (maggiore o uguale)

Le prime due esprimono una disuguaglianza in senso stretto, le ultime due esprimono una disuguaglianza in senso largo.

Gli stessi simboli possono essere utilizzati per "confrontare" due funzioni a valori reali.

La disuguaglianza in senso largo si indica con le scritture equivalenti $a\geqslant b$ e $b\leqslant a$ , che si leggono " $a$ è maggiore o uguale a $b$ " e " $b$ è minore o uguale ad $a$ ".

La disuguaglianza in senso stretto si indica invece le scritture equivalenti $a>b$ e $b<a$ , lette " $a$ è maggiore di $b$ " e " $b$ è minore di $a$ ".

Questa notazione può essere confusa con la notazione graficamente simile $a\gg b$ (o $b\ll a$ ), utilizzata con due diversi significati: sia per indicare che un numero è sufficientemente più grande di un altro (" $a$ è molto maggiore di $b$ "), sia per indicare che una funzione è asintoticamente più grande di un'altra (" $a$ domina $b$ "). In entrambi i casi non è una disuguaglianza, ma solamente una relazione d'ordine parziale, ovvero può non permettere di confrontare tra loro due distinti elementi dell'insieme.

Una relazione d'ordine (larga o stretta) definita in un insieme è totale se, considerati due qualsiasi elementi dell'insieme $a$ e $b$ distinti tra loro, risulta sempre che $a$ è in relazione con $b$ , oppure che $b$ è in relazione con $a$ ^[2].

Una relazione d'ordine non totale è chiamata relazione d'ordine parziale.

Per esempio nell'insieme $I=\left\{2,3,6,9,18\right\}$ la relazione " $a<b$ " è totale perché è possibile mettere a confronto tutti gli elementi dell'insieme. Se invece si considera, nello stesso insieme, la relazione " $a$ multiplo di $b$ ", questa è una relazione parziale perché per esempio $9$ non è un multiplo di $2$ .

Se la disuguaglianza è stretta, allora vale la proprietà di tricotomia:

$\forall a,b$ vale una e una sola delle tre relazioni $a>b,\;\;\;a<b,\;\;\;a=b$ .

Se la disuguaglianza è larga, allora vale l'antisimmetria:

$\forall a,b\qquad a\leqslant b\quad {\text{e}}\quad b\leqslant a\implies a=b$ .

Le disuguaglianze vengono preservate se ad entrambi i termini viene aggiunto o sottratto uno stesso numero^[3]:

Lo stesso vale con la disuguaglianza in senso largo.

Questa proprietà indica che confrontare due numeri $a$ e $b$ è equivalente a verificare se la loro differenza $a-b$ è positiva o negativa, ovvero a confrontare $a-b$ e $0$ . Inoltre $a>0$ equivale a $-a<0$ , così come $a>b$ equivale a $-a<-b$ .

Questa proprietà in generale descrive i gruppi ordinati.

Le disuguaglianze vengono preservate se entrambi i termini vengono moltiplicati o divisi per uno stesso numero strettamente positivo. Moltiplicando o dividendo per un numero strettamente negativo, invece, le disuguaglianze si scambiano:

Lo stesso vale con la disuguaglianza in senso largo.

Per la precedente proprietà, la seconda riga equivale alla prima, scrivendo $-c$ al posto di $c$ .

Queste proprietà in generale descrivono gli anelli ordinati e i campi ordinati (o campi reali).

Le disuguaglianze sono alla base della definizione delle funzioni monotòne: le funzioni che conservano o invertono l'ordinamento dei numeri reali, quindi le disuguaglianze, sono funzioni monotone crescenti o decrescenti.
In particolare, le funzioni monotone in senso stretto "mantengono" le disuguaglianze in senso stretto; invece una funzione monotona in senso largo fornisce solamente disuguaglianze in senso largo.

A volte si abusa della notazione per la disuguaglianza, scrivendo $f>0$ anche quando $f$ è una funzione a valori reali. Con questa notazione si intende che $f$ assume solo valori strettamente positivi, ovvero che $f(x)>0$ per ogni $x$ nel dominio di $f$ . In questo caso si parla si segno di una funzione o, equivalentemente, di insieme di positività di una funzione. Nello stesso modo, $f>g$ indica che $f-g>0$ , ovvero che $f(x)>g(x)$ per ogni $x$ nel comune dominio di $f$ e $g$ . Lo stesso capita con la disuguaglianza in senso largo. Quando il dominio delle funzioni non viene specificato, si parla di disequazione.

Alcune "famose" disuguaglianze in matematica sono elencate di seguito.

^ Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Matematica.blu (seconda edizione) Vol.1, Zanichelli - Bologna, 2018, ISBN 978-88-08-22085-1. p.568
^ Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Matematica.blu (seconda edizione) Vol.1, Zanichelli - Bologna, 2018, ISBN 978-88-08-22085-1. p.236
^ Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 1), Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1680-7. p.140

Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Matematica.blu (seconda edizione) Vol.1, Zanichelli - Bologna, 2018, ISBN 978-88-08-22085-1.
Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 1), Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1680-7.

V · D · M Analisi matematica
Calcolo infinitesimale	Numero reale · Infinitesimo · O-grande · Successione (di funzioni) · Successione di Cauchy · Teorema di Bolzano-Weierstrass · Stima asintotica · Limite (di una funzione · di una successione · Forma indeterminata) · Teorema dei due carabinieri · Limite notevole · Punto di accumulazione · Punto isolato · Intorno · Serie (di funzioni) · Criteri di convergenza · Limite di funzioni a più variabili	Analisi matematica
Studio della continuità	Funzione continua · Punto di discontinuità · Continuità uniforme · Funzione lipschitziana · Teorema di Bolzano · Teorema di Weierstrass · Teorema dei valori intermedi · Teorema di Heine-Cantor · Modulo di continuità · Funzione semicontinua · Continuità separata · Teorema di approssimazione di Weierstrass
Calcolo differenziale	Derivata · Differenziale · Regole di derivazione · Teorema di Fermat · Teorema di Rolle · Teorema di Lagrange · Teorema di Cauchy · Teorema di Darboux · Teorema di Taylor · Serie di Taylor · Funzione differenziabile · Gradiente · Jacobiana · Hessiana · Forma differenziale · Generalizzazioni della derivata · Derivata parziale · Derivata mista
Integrale	Primitiva · Integrale di Riemann · Integrale improprio · Integrale di Lebesgue · Teorema fondamentale · Metodi di integrazione · Tavole · Integrale multiplo, di linea (1ª specie · 2ª specie) e di superficie (di volume)
Studio di funzione	Funzione · Variabile · Dominio e codominio · Funzioni pari e dispari · Funzione periodica · Funzione monotona · Funzione convessa · Massimo e minimo di una funzione · Punto angoloso · Cuspide · Punto di flesso · Asintoto · Grafico di una funzione · Funzione iniettiva
Disuguaglianze	Disuguaglianza triangolare · Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Altro	Approssimazione di Stirling · Prodotto di Wallis · Funzione Gamma · Teorema delle funzioni implicite · Teorema della funzione inversa · Funzione hölderiana · Spazio metrico · Spazio normato · Intervallo · Insieme trascurabile · Insieme chiuso · Insieme aperto · Palla · Omeomorfismo · Omeomorfismo locale · Diffeomorfismo · Diffeomorfismo locale · Classe C di una funzione · Equazione differenziale · Problema di Cauchy

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 58552 · GND (DE) 4139098-2 · NDL (EN, JA) 00563806