it.wikipedia.org

Dominio e codominio - Wikipedia

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

(Reindirizzamento da Dominio (matematica))

In matematica il dominio e il codominio di una funzione sono gli insiemi su cui essa è definita. Una funzione, infatti, è una relazione che associa a ogni elemento del dominio uno e un solo elemento del codominio.

In matematica una funzione è il dato di tre oggetti: un dominio $X$ , un codominio $Y$ e una legge $x\mapsto f(x)$ che associa ad ogni elemento $x$ di $X$ uno e un solo elemento di $Y$ che viene indicato $f(x)$ . Una funzione viene definita indicando tutti e tre questi oggetti, che vengono raccolti nella notazione

${\begin{array}{ccc}f\colon &X&\to &Y\\&x&\mapsto &f(x)\end{array}}$

o nella notazione equivalente

$f\colon X\to Y,\quad x\mapsto f(x).$

È importante notare che il dominio e il codominio devono essere definiti prima della legge di applicazione, e che tutti assieme questi oggetti definiscono una funzione. In particolare, senza indicare il dominio e il codominio non può essere definita alcuna funzione.

Ad esempio, per ogni insieme $S$ è ben definita una funzione identità su $S$ , con dominio $S$ , codominio $S$ e legge di applicazione $x\mapsto x$ :

${\text{id}}_{S}\colon S\to S,\quad x\mapsto x.$

Omettendo dominio e codominio, la sola legge di applicazione $x\mapsto x$ non è ben definita e non definisce alcuna funzione.

In alcuni contesti si usa sottintendere il dominio e il codominio di una funzione reale di variabile reale (cioè con dominio e codominio contenuti nell'insieme dei numeri reali) quando il dominio è pari all'insieme di definizione della funzione e il codominio è l'intero insieme dei numeri reali.

Ad esempio,

nell'ambito delle funzioni reali di variabile reale, $f\colon x\mapsto x^{2}$ potrebbe sottintendere un dominio $\mathbb {R}$ e un codominio $\mathbb {R}$ ;

$f\colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ^{+},\quad x\mapsto x^{2}$ ha certamente dominio $\mathbb {R} ^{+}$ e codominio $\mathbb {R} ^{+}$ ;

$f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} ,\quad x\mapsto x^{2}$ ha certamente dominio $\mathbb {C}$ e codominio $\mathbb {C}$ .

Dunque nel sottintendere dominio e codominio, ci si limita a sottoinsiemi dei numeri reali e si rinuncia a studiare le proprietà di una funzione (come iniettività, suriettività, morfismo).

$Y$ rappresenta il *codominio* della funzione $f$ ; l'insieme denotato con $f(X)$ , che è sempre incluso in $Y$ , è invece l'*immagine* di $f$ .

{\displaystyle Y} — $Y$ rappresenta il *codominio* della funzione $f$ ; l'insieme denotato con $f(X)$ , che è sempre incluso in $Y$ , è invece l'*immagine* di $f$ .

Come il dominio, anche il codominio è parte integrante della definizione di funzione e senza di esso non è possibile definire una legge di applicazione.

Da un punto di vista puramente computazionale, ossia se ci si interessa alle sole immagini $f(x)$ dei singoli elementi del dominio, si considera il solo insieme delle immagini, o immagine $f(X)=\{f(x)\mid x\in X\}$ , che è un sottoinsieme del codominio.

È sempre possibile definire una nuova funzione

${\tilde {f}}\colon X\to f(X),\quad x\mapsto f(x),$

che è talvolta identificata con la funzione stessa, pur avendo diverse proprietà (come suriettività o morfismo).

Ad esempio, nel calcolo di $f(1)={\tilde {f}}(1)$ vengono identificate le due funzioni

$f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\quad x\mapsto e^{x}$

${\tilde {f}}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} _{0}^{+},\quad x\mapsto e^{x}$

anche se solo la seconda è un isomorfismo tra il gruppo $(\mathbb {R} ,+)$ e il gruppo $(\mathbb {R} _{0}^{+},\cdot )$ .

In analisi complessa con dominio solitamente si indica un sottoinsieme aperto e connesso di $\mathbb {C} ^{n}$ .

In topologia per dominio si intende la chiusura di un insieme aperto. Inoltre, se il suddetto aperto manifesta la proprietà della connessione, anche il dominio può dirsi connesso.

G. Zwirner, L. Scaglianti, Itinerari di matematica vol 2, Padova, CEDAM, 1990, ISBN 88-13-16854-3

(EN) Eric W. Weisstein, Codomain, su MathWorld, Wolfram Research.

V · D · M Analisi matematica
Calcolo infinitesimale	Numero reale · Infinitesimo · O-grande · Successione (di funzioni) · Successione di Cauchy · Teorema di Bolzano-Weierstrass · Stima asintotica · Limite (di una funzione · di una successione · Forma indeterminata) · Teorema dei due carabinieri · Limite notevole · Punto di accumulazione · Punto isolato · Intorno · Serie (di funzioni) · Criteri di convergenza · Limite di funzioni a più variabili	Analisi matematica
Studio della continuità	Funzione continua · Punto di discontinuità · Continuità uniforme · Funzione lipschitziana · Teorema di Bolzano · Teorema di Weierstrass · Teorema dei valori intermedi · Teorema di Heine-Cantor · Modulo di continuità · Funzione semicontinua · Continuità separata · Teorema di approssimazione di Weierstrass
Calcolo differenziale	Derivata · Differenziale · Regole di derivazione · Teorema di Fermat · Teorema di Rolle · Teorema di Lagrange · Teorema di Cauchy · Teorema di Darboux · Teorema di Taylor · Serie di Taylor · Funzione differenziabile · Gradiente · Jacobiana · Hessiana · Forma differenziale · Generalizzazioni della derivata · Derivata parziale · Derivata mista
Integrale	Primitiva · Integrale di Riemann · Integrale improprio · Integrale di Lebesgue · Teorema fondamentale · Metodi di integrazione · Tavole · Integrale multiplo, di linea (1ª specie · 2ª specie) e di superficie (di volume)
Studio di funzione	Funzione · Variabile · Dominio e codominio · Funzioni pari e dispari · Funzione periodica · Funzione monotona · Funzione convessa · Massimo e minimo di una funzione · Punto angoloso · Cuspide · Punto di flesso · Asintoto · Grafico di una funzione · Funzione iniettiva
Disuguaglianze	Disuguaglianza triangolare · Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Altro	Approssimazione di Stirling · Prodotto di Wallis · Funzione Gamma · Teorema delle funzioni implicite · Teorema della funzione inversa · Funzione hölderiana · Spazio metrico · Spazio normato · Intervallo · Insieme trascurabile · Insieme chiuso · Insieme aperto · Palla · Omeomorfismo · Omeomorfismo locale · Diffeomorfismo · Diffeomorfismo locale · Classe C di una funzione · Equazione differenziale · Problema di Cauchy