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Dominio d'integrità - Wikipedia

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In algebra, un dominio d'integrità è un anello commutativo con unità tale che {\displaystyle 0\neq 1} in cui il prodotto di due qualsiasi elementi non nulli è un elemento non nullo. I domini di integrità sono estensioni degli interi e forniscono un insieme naturale per lo studio della divisibilità.

In altre parole, un dominio d'integrità è un anello commutativo privo di divisori dello zero. Più precisamente l'anello {\displaystyle (A;+,\cdot )} è un dominio d'integrità se valgono le seguenti condizioni:

La seconda legge viene detta legge di annullamento del prodotto. Equivalentemente, un dominio di integrità può essere definito come un anello commutativo in cui l'ideale nullo {\displaystyle \{0\}} è primo, o come sottoanello di un qualche campo.

La condizione che {\displaystyle 0\neq 1} serve all'unico scopo di escludere l'anello banale {\displaystyle \{0\}} con un solo elemento.

Se {\displaystyle A} è un dominio d'integrità, il più piccolo campo {\displaystyle \mathrm {Quot} (A)} che contiene {\displaystyle A} come sottoanello è unicamente determinato a meno di isomorfismi ed è chiamato campo delle frazioni o campo quoziente di {\displaystyle A}.

Il campo quoziente può essere costruito esplicitamente, quozientando l'insieme delle coppie del prodotto cartesiano di {\displaystyle A}, scritte nella forma {\displaystyle a/b}, con {\displaystyle a} e {\displaystyle b} in {\displaystyle A} e {\displaystyle b\neq 0}, tramite la relazione di equivalenza {\displaystyle a/b\sim c/d} se e solo se {\displaystyle ad=bc} e munendolo delle operazioni

{\displaystyle a/b+c/d=(ad+bc)/bd}
{\displaystyle (a/b)(c/d)=ac/bd}.

Il campo delle frazioni degli interi è il campo dei numeri razionali: in questo caso la relazione di equivalenza è quella solita, per cui {\displaystyle 4/3} e {\displaystyle 8/6} sono in verità lo stesso numero razionale. Il campo delle frazioni di un campo è il campo stesso.

Sia {\displaystyle A} un dominio d'integrità.

In un anello qualsiasi si possono estendere i concetti di divisibilità e di numero primo presenti in {\displaystyle \mathbb {Z} }: in un anello commutativo le definizioni risultano però molto più semplici, e in un dominio di integrità il rapporto fra gli elementi e l'operazione di prodotto risulta essere più vicino a quanto accade in {\displaystyle \mathbb {Z} }.

Se {\displaystyle a} e {\displaystyle b} sono elementi di un anello commutativo {\displaystyle A}, diciamo che {\displaystyle a} divide {\displaystyle b} o {\displaystyle a} è un divisore di {\displaystyle b} o {\displaystyle b} è un multiplo di {\displaystyle a} se e solo se esiste un elemento {\displaystyle x} in {\displaystyle A} tale che {\displaystyle ax=b}. In questo caso scriviamo {\displaystyle a|b}. Abbiamo le seguenti proprietà:

Gli elementi che dividono {\displaystyle 1} sono le unità di {\displaystyle A}, e sono precisamente gli elementi invertibili di {\displaystyle A}. Le unità dividono ogni altro elemento.

Se {\displaystyle a|b} e {\displaystyle b|a}, allora diciamo che {\displaystyle a} e {\displaystyle b} sono elementi associati; {\displaystyle a} e {\displaystyle b} sono associati se e solo se esiste un'unità {\displaystyle u} tale che {\displaystyle au=b}.

Nel tentativo di estendere una definizione di numero primo da {\displaystyle \mathbb {Z} } ad un anello commutativo {\displaystyle A} qualsiasi, si nota subito che due definizioni equivalenti in {\displaystyle \mathbb {Z} } possono non esserlo più in generale. Per questo motivo definiamo due concetti distinti, parlando di elementi irriducibili e primi.

Le due definizioni coincidono su {\displaystyle \mathbb {Z} }: un numero {\displaystyle n} è irriducibile (o primo) se e solo se {\displaystyle n} oppure {\displaystyle -n} è un numero primo.

Se {\displaystyle A} è un dominio d'integrità, un elemento primo è sempre irriducibile. Supponiamo infatti che {\displaystyle p=ab} dove {\displaystyle a} e {\displaystyle b} sono elementi di {\displaystyle A}. Allora {\displaystyle p} divide {\displaystyle ab}. Quindi {\displaystyle p|a} oppure {\displaystyle p|b} perché {\displaystyle p} è primo. Supponiamo {\displaystyle p|a}, cioè {\displaystyle a=pq}. Quindi {\displaystyle p=pqb}, ovvero {\displaystyle p(1-qb)=0}. Poiché {\displaystyle A} è un dominio di integrità e {\displaystyle p} non è lo zero, abbiamo {\displaystyle qb=1} e quindi {\displaystyle b} è un'unità. Quindi {\displaystyle p} è irriducibile.

In generale, un elemento irriducibile può non essere primo. Se {\displaystyle A} è un dominio a fattorizzazione unica i due concetti sono equivalenti.

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Algebra
NumeriNaturali · Interi · Razionali · Irrazionali · Algebrici · Trascendenti · Reali · Complessi · Numero ipercomplesso · Numero p-adico · Duali · Complessi iperbolici
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Elementi di Calcolo combinatorioFattoriale · Permutazione · Disposizione · Combinazione · Dismutazione · Principio di inclusione-esclusione
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Teoria dei campi
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Altre strutture algebricheMagma · Semigruppo · Corpo · Spazio vettoriale · Algebra su campo · Algebra di Lie · Algebra differenziale · Algebra di Clifford · Gruppo topologico · Gruppo ordinato · Quasi-anello · Algebra di Boole
argomentiTeoria delle categorie · Algebra lineare · Algebra commutativa · Algebra omologica · Algebra astratta · Algebra computazionale · Algebra differenziale · Algebra universale

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Algebra commutativa
Concetti generaliAnello · Campo · Dominio d'integrità · Anello locale · Ideale (Massimale · Primo · Radicale · Radicale di Jacobson) · Decomposizione primaria · Primo associato · Spettro · Dimensione di Krull · Profondità
EstensioniLocalizzazione (Campo dei quozienti) · Estensione intera · Chiusura integrale · Completamento · Anello dei polinomi · Anello delle serie formali
Anelli noetheriani
ClassiAnello artiniano · Anello regolare · Anello di Gorenstein · Anello di Cohen-Macaulay · Anello eccellente
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ValutazioniAnello di valutazione · Anello a valutazione discreta · Dominio di Prüfer · Dominio di Bézout
FattorizzazioneDominio a fattorizzazione unica · Dominio ad ideali principali · Dominio euclideo · Dominio di Dedekind · Dominio di Krull
Teoria dei moduliModulo libero · Modulo proiettivo · Modulo iniettivo · Prodotto tensoriale · Modulo piatto · Lemma di Nakayama · Lunghezza
Argomenti correlatiAlgebra omologica · Geometria algebrica · Teoria algebrica dei numeri · Teoria delle categorie