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Immersione compatta - Wikipedia

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In matematica, la nozione di immersione compatta esprime l'idea che un insieme sia "ben contenuto" all'interno di un altro. Il concetto di immersione compatta è presente in topologia ed in analisi funzionale.

Sia $(X,T)$ uno spazio topologico, e siano $V$ e $W$ sottoinsiemi di $X$ . Si dice che $V$ è immerso in modo compatto in $W$ , e si scrive $V\subset \subset W$ , se:

Siano $X$ e $Y$ due spazi normati con norme $\|\cdot \|_{X}$ e $\|\cdot \|_{Y}$ rispettivamente, e si supponga che $X\subseteq Y$ . Si dice che $X$ è immerso in modo compatto in $Y$ , e si scrive $X\subset \subset Y$ , se:

Se $Y$ è uno spazio di Banach, una definizione equivalente è che l'operatore di immersione (l'identità) $i:X\to Y$ è un operatore compatto.

Questa definizione dell'immersione compatta viene utilizzata nell'ambito dell'analisi funzionale quando si studiano spazi di Banach di funzioni. Parecchi teoremi di immersione di Sobolev sono teoremi di immersione compatta.

(EN) Evans, Lawrence C., Partial differential equations, Providence, RI, American Mathematical Society, 1998, ISBN 0-8218-0772-2.
(EN) Renardy, M., & Rogers, R.C., An Introduction to Partial Differential Equations, Berlin, Springer-Verlag, 1992, ISBN 3-540-97952-2.
(EN) Robert A. Adams, Sobolev Spaces, Boston, MA, Academic Press, 1975, ISBN 978-0-12-044150-1.