Insieme chiuso - Wikipedia
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del piano cartesiano che soddisfano la relazione 
formano una circonferenza qui disegnata in blu avente il centro nell'origine degli assi cartesiani e raggio 
. I punti tali che 
sono disegnati in rosso. L'unione dei punti disegnati in rosso e di quelli in blu è un insieme chiuso, mentre la sola parte disegnata in rosso forma un insieme aperto.In topologia, un insieme chiuso è un sottoinsieme di uno spazio topologico tale che il suo complementare è aperto, oppure, equivalentemente, un insieme è chiuso se contiene la sua frontiera. Intuitivamente se un insieme è chiuso vuol dire che il "bordo" dell'insieme appartiene all'insieme stesso.
Gli insiemi chiusi hanno quindi le seguenti proprietà, "complementari" a quelle degli insiemi aperti, valide in un qualsiasi spazio topologico 
- l'unione di un numero finito di chiusi è ancora un chiuso;
- l'intersezione di una collezione arbitraria di chiusi è ancora un chiuso;
- l'intero insieme
e l'insieme vuoto sono chiusi.
Si possono usare queste proprietà come assiomi per definire una topologia su 
Sono insiemi chiusi della retta reale con l'usuale topologia indotta dalla metrica euclidea i seguenti sottoinsiemi:
Non sono insiemi chiusi della retta reale con l'usuale topologia indotta dalla metrica euclidea i seguenti sottoinsiemi:
Altri esempi di insiemi chiusi sono:
dove 
- Un sottoinsieme chiuso di un insieme compatto è anch'esso compatto.
- Un sottoinsieme compatto in uno spazio di Hausdorff è chiuso.
- La frontiera di un qualunque insieme è chiusa.
- In uno spazio metrico (ad esempio quello euclideo), i punti sono chiusi.
- Uno spazio topologico è uno spazio T1 se e solo se tutti i suoi punti sono chiusi.
- La controimmagine di un chiuso attraverso una funzione continua tra due spazi topologici è chiusa.
- Edoardo Sernesi, Geometria 2, Torino, Bollati Boringhieri, 1994, ISBN 978-88-339-5548-3.
- Czes Kosniowski, Introduzione alla Topologia Algebrica, Zanichelli, 1988, ISBN 88-08-06440-9.
- (EN) Stephen Willard, General Topology, Reading, MA, Addison-Wesley, 1970, ISBN 0-486-43479-6.
- Spazio topologico
- Chiusura (topologia)
- Insieme localmente chiuso
- Insieme denso
- Insieme aperto
- Frontiera (topologia)
- Parte interna
- Spazio compatto
