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Prodotto interno - Wikipedia

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In matematica, il prodotto interno o derivata interna è una derivazione di grado −1 sull'algebra esterna delle forme differenziali su varietà lisce.

Dato uno spazio vettoriale {\displaystyle V}, detto {\displaystyle \Lambda ^{p}V} l'insieme delle {\displaystyle p}-forme su {\displaystyle V}, per ogni vettore {\displaystyle X\in V} si definisce {\displaystyle \iota _{X}} l'applicazione

{\displaystyle \iota _{X}:\Lambda ^{p}V\to \Lambda ^{p-1}V}
{\displaystyle \omega \mapsto \iota _{X}\omega }

per cui

{\displaystyle (\iota _{X}\omega )(X_{1},\dots ,X_{p-1})=\omega (X,X_{1},\dots ,X_{p-1})}

Pertanto, il prodotto interno agisce su una {\displaystyle p}-forma restituendo una {\displaystyle (p-1)}-forma data dalla contrazione della forma differenziale con il vettore associato al prodotto.

A partire dalla definizione è facile dimostrare alcune proprietà del prodotto interno:

Dall'anticommutatività discende immediatamente la nilpotenza, ovvero {\displaystyle \iota _{X}^{2}=0}. Tale proprietà, unità alla validità della regola di Leibniz graduata, rende il prodotto interno un'operazione di derivazione, in questo caso di grado {\displaystyle -1} perché la forma di arrivo è di un ordine inferiore rispetto a quella di partenza.

  • (EN) John Lee, Introduction to Smooth Manifolds, Springer, 2002.
  • (EN) James Munkres, Analysis on Manifolds, Westview Press, 1990.
  • (EN) Richard Bishop, Samuel Goldberg, Tensor Analysis on Manifolds, Dover, 1980, ISBN 978-0-486-64039-6.