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Regola del prodotto - Wikipedia

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Nell'analisi matematica, la regola del prodotto o regola di Leibniz è una regola di derivazione che nella sua forma generale permette di calcolare qualsiasi derivata prima del prodotto di {\displaystyle k} funzioni {\displaystyle f_{i},} con {\displaystyle i=1,\ldots ,k,} tutte derivabili:

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right]=\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {d}{dx}}f_{i}(x)\prod _{j\neq i}f_{j}(x)\right)=\left(\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right)\left(\sum _{i=1}^{k}{\frac {f'_{i}(x)}{f_{i}(x)}}\right).}

La derivata prima del prodotto di due funzioni derivabili in {\displaystyle x} è uguale al prodotto della prima per la derivata della seconda più il prodotto della seconda funzione per la derivata della prima, che nella notazione di Lagrange si esprime:

{\displaystyle \left[g(x)f(x)\right]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).}

Applicando la definizione di derivata ed ipotizzando le funzioni {\displaystyle f(x)} e {\displaystyle g(x)} derivabili in {\displaystyle x}:

{\displaystyle [f(x)g(x)]'=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}}.}

Ora sottraiamo e sommiamo la quantità {\displaystyle f(x+h)g(x)}:

{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)g(x+h)-f(x+h)g(x)+f(x+h)g(x)-f(x)g(x)}{h}}.}

Raccogliendo {\displaystyle f(x+h)} e {\displaystyle g(x)} si ottiene

{\displaystyle \lim _{h\to 0}f(x+h)\left[{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right]+\lim _{h\to 0}g(x)\left[{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\right].}

Siccome le funzioni {\displaystyle f(x)} e {\displaystyle g(x)} sono, per ipotesi, derivabili in {\displaystyle x}, quindi è qui anche continua sia {\displaystyle \lim _{h\to 0}f(x+h)=f(x)}che {\displaystyle \lim _{h\to 0}g(x+h)=g(x)}. Si conclude che:

{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}=g'(x),}
{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=f'(x),}

e quindi:

{\displaystyle f(x)g'(x)+f'(x)g(x),}

come volevasi dimostrare.

La scoperta di questa regola è stata attribuita al matematico Gottfried Leibniz - da cui il nome - che la dimostrò utilizzando il differenziale, utilizzando una sua particolare notazione, come di seguito riportata, in cui {\displaystyle f(x)} e {\displaystyle g(x)} sono due funzioni di {\displaystyle x}. Allora il differenziale di {\displaystyle fg} è

{\displaystyle d(fg)=(f+df)(g+dg)-fg=f(dg)+g(df)+(df)(dg).}

Siccome il termine {\displaystyle (df)(dg)} è "trascurabile" in quanto differenziale del second'ordine, Leibniz concluse che

{\displaystyle d(fg)=f(dg)+g(df).}

Questo è identico alla forma differenziale della regola del prodotto. Se si divide entrambi per il differenziale {\displaystyle dx}, si ottiene

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(fg)=f\left({\frac {dg}{dx}}\right)+g\left({\frac {df}{dx}}\right)}

che corrisponde nella notazione di Lagrange a:

{\displaystyle (fg)'=fg'+f'g.}

Un caso particolare notevole è la derivata di una funzione {\displaystyle f(x)} per una costante {\displaystyle k}:

{\displaystyle D\left[kf(x)\right]=k\cdot f'(x)+k'\cdot f(x),}

ma {\displaystyle k'=0} essendo derivata di una costante allora, per l'annullamento del prodotto, rimane solo il primo termine; quindi

{\displaystyle D\left[kf(x)\right]=kf'(x).}

La regola può essere generalizzata anche per una collezione di {\displaystyle n} funzioni derivabili, {\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{k}} ,e dimostrabile con un processo simile a quello già visto ottenendo la regola generale:

La derivata del prodotto di n funzioni è uguale alla sommatoria di n addendi ognuno dei quali contenente la derivata dell'n-esima funzione e le restanti non derivate.
{\displaystyle (f_{1}(x)f_{2}(x)\cdots f_{n}(x))'=f_{1}'(x)f_{2}(x)\cdots f_{n}(x)+f_{1}(x)f_{2}^{\prime }(x)\cdots f_{n}(x)+\cdots +f_{1}(x)f_{2}(x)\cdots f_{n}^{\prime }(x),}

più succintamente introducendo la produttoria e considerando le funzioni {\displaystyle {f_{j}(x)}} prive di zeri:

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)=\sum _{j=1}^{k}{\frac {f'_{j}(x)}{f_{j}(x)}}\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x).}

Dall'applicazione della precedente si può dimostrare per induzione che

{\displaystyle {d \over dx}ax^{n}=nax^{n-1},}

per {\displaystyle n} intero positivo:[1] {\displaystyle x^{n}} è una produttoria di {\displaystyle n} funzioni uguali tutte uguali a {\displaystyle x}, per cui, per la generalizzazione, si otterrà una sommatoria di {\displaystyle n} elementi tutti uguali tra loro:

{\displaystyle n{\frac {x'}{x}}x^{n}=nx^{n-1}\cdot x'.}

Applicando ora l'ipotesi induttiva del principio di induzione per {\displaystyle x'} e ricordando che {\displaystyle x=x^{1}}, possiamo scrivere:

{\displaystyle nx^{n-1}\cdot x'=nx^{n-1}\cdot (1\cdot x^{1-1})=nx^{n-1}\cdot x^{0}.}

Il risultato segue ricordando che {\displaystyle x^{0}=1.}

Le derivate successive {\displaystyle n}-sime del prodotto di due funzioni sono:

{\displaystyle {\frac {d^{n}}{{dx}^{n}}}f(x)g(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}f^{(n-k)}(x)g^{(k)}(x),}[2]

dove {\displaystyle {n \choose k}} indica il coefficiente binomiale.

Proviamo a derivare due volte la funzione {\displaystyle x^{3}e^{x}}, usando il fatto che la derivata di {\displaystyle e^{x}} è sempre uguale a sé stessa.

{\displaystyle {\begin{aligned}D^{(2)}[x^{3}e^{x}]&={2 \choose 0}6xe^{x}+{2 \choose 1}3x^{2}e^{x}+{2 \choose 2}x^{3}e^{x}\\&=1\cdot 6xe^{x}+2\cdot 3x^{2}e^{x}+1\cdot x^{3}e^{x}\\&=6xe^{x}+6x^{2}e^{x}+x^{3}e^{x}.\end{aligned}}}

Per quanto riguarda la derivazione di una funzione a esponente naturale:

{\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}x^{a}={\frac {a!}{(a-n)!}}x^{a-n}.}
  1. ^ per {\displaystyle n} non intero e positivo occorre ricorrere ad altre dimostrazioni
  2. ^ Il riferimento apicale essendo tra parentesi non indica un esponente ma l'ordine di derivazione secondo la notazione di Lagrange