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Teorema di Rouché-Capelli - Wikipedia

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Il teorema di Rouché-Capelli è un teorema di algebra lineare che permette di caratterizzare l'insieme delle soluzioni di un sistema di equazioni lineari (eventualmente vuoto) mediante il rango della matrice completa e della matrice incompleta.

Prende il nome dal matematico francese Eugène Rouché, suo ideatore, e dal matematico italiano Alfredo Capelli, che lo riscrisse in maniera più semplice. A questo teorema, che ha interesse prevalentemente didattico, vengono anche associati i nomi di Fontené, Kronecker e Frobenius.

Consideriamo il sistema di equazioni lineari:

$\left\{{\begin{matrix}a_{1,1}x_{1}+a_{1,2}x_{2}+\cdots +a_{1,n}x_{n}=b_{1}\\a_{2,1}x_{1}+a_{2,2}x_{2}+\cdots +a_{2,n}x_{n}=b_{2}\\\vdots \\a_{m,1}x_{1}+a_{m,2}x_{2}+\cdots +a_{m,n}x_{n}=b_{m}\\\end{matrix}}\right.$

nel quale i coefficienti del sistema lineare (e quindi delle matrici) e le componenti dei vettori sono elementi di un campo $K$ , quale ad esempio quello dei numeri reali $\mathbb {R}$ o complessi $\mathbb {C}$ .

Il sistema è rappresentato fedelmente dalla matrice:

$(A|\mathbf {b} )=\left({\begin{matrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&\cdots &a_{m,n}\end{matrix}}\right|\left.{\begin{matrix}b_{1}\\\vdots \\b_{m}\end{matrix}}\right)$

detta matrice associata al sistema. Essa è ottenuta dalla giustapposizione della matrice $A$ dei coefficienti e di un'ulteriore colonna $\mathbf {b}$ , detta colonna dei termini noti. Le matrici $A$ e $(A|\mathbf {b} )$ sono dette rispettivamente incompleta e completa.

Il teorema di Rouché-Capelli afferma che esistono soluzioni per il sistema se e solo se il rango della matrice completa è uguale al rango della matrice incompleta:

$\operatorname {rk} (A|\mathbf {b} )=\operatorname {rk} (A|\mathbf {0} )$

Se esistono soluzioni, queste formano un sottospazio affine di $K^{n}$ di dimensione $n-\operatorname {rk} (A)$ . In particolare, se il campo $K$ è infinito si ha che se $\operatorname {rk} (A)=n$ allora la soluzione è unica, altrimenti esistono infinite soluzioni.^[1]
Valgono le seguenti due relazioni:

$\operatorname {rk} (A|\mathbf {b} )\geqslant \operatorname {rk} (A|\mathbf {0} )$
$\max\{\operatorname {rk} (A|\mathbf {0} )\}=\min\{n,m\}$ ,

dove $n$ è il numero di incognite, e $m$ è il numero di equazioni del sistema.

Il sistema può essere descritto in modo più compatto, introducendo il vettore delle coordinate:

$\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}$

ed usando il prodotto fra matrici e vettori, nel modo seguente:

$A\mathbf {x} =\mathbf {b}$

Questa relazione dice che un vettore noto $\mathbf {b}$ si vuole sia l'immagine di un vettore incognito $\mathbf {x}$ ottenuta mediante l'applicazione lineare $L_{A}:K^{n}\to K^{m}$ associata alla matrice dei coefficienti:

$L_{A}(\mathbf {x} )=A\mathbf {x}$

Quindi il sistema ammette soluzione se e solo se $\mathbf {b}$ è l'immagine di almeno un vettore $\mathbf {x}$ di $K^{n}$ , ovvero se e solo se fa parte dell'immagine di $L_{A}$ . Si osserva che l'immagine di $L_{A}$ è generata linearmente dai vettori dati dalle colonne di $A$ . Quindi $\mathbf {b}$ è contenuto nell'immagine se e solo se lo span delle colonne di $A$ contiene $b$ , cioè se e solo se lo span delle colonne di $A$ è uguale allo span delle colonne di $(A|\mathbf {b} )$ . Quest'ultima affermazione è equivalente a chiedere che le due matrici abbiano lo stesso rango.

Se esiste una soluzione $\mathbf {x} _{0}$ , ogni altra soluzione si scrive come $\mathbf {x} _{0}+\mathbf {v}$ , dove $\mathbf {v}$ è una soluzione del sistema lineare omogeneo associato:^[2]

$A\mathbf {v} =0$

Infatti:

$A(\mathbf {x} _{0}+\mathbf {v} )=A\mathbf {x} _{0}+A\mathbf {v} =\mathbf {b} +\mathbf {0} =\mathbf {b} \$

Lo spazio delle soluzioni, ottenuto traslando il nucleo con il vettore $\mathbf {x} _{0}$ , è quindi il sottospazio affine dato da:

$\operatorname {Sol} (A|\mathbf {b} )=\mathbf {x} _{0}+\operatorname {Sol} (A|\mathbf {0} )$

La dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema completo è uguale alla dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema omogeneo associato.^[3]

Le soluzioni del sistema lineare omogeneo associato sono il nucleo dell'applicazione $L_{A}$ , e per il teorema della dimensione il nucleo è un sottospazio vettoriale di dimensione $n-\operatorname {rk} (A)$ . Quindi lo spazio delle soluzioni, ottenuto traslando il nucleo con il vettore $x$ , è un sottospazio affine della stessa dimensione.

Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
(EN) Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra, 2ª ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9.
F. Odetti, M. Raimondo, Elementi di Algebra Lineare e Geometria Analitica, ECIG, 1992, ISBN 88-7545-717-4.

Rouche-Capelli, teorema di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.

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