Topologia quoziente - Wikipedia
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In topologia, la topologia quoziente è intuitivamente quella ottenuta da uno spazio topologico "attaccando" alcuni punti fra loro. Lo spazio topologico che si ottiene viene anche chiamato spazio quoziente.
Sia 
Sia 
La topologia quoziente è l'unica topologia con questa proprietà: se 
Nell'ultima definizione, diciamo che
- Incollamento. In topologia si costruiscono numerosi spazi per "incollamento". Se X è uno spazio topologico e due punti x e y di X vengono incollati, si costruisce lo spazio quoziente tramite la seguente semplice relazione di equivalenza: a ~ b se e solo se a = b oppure a = x, b = y (oppure a = y, b = x). I due punti quindi diventano un punto solo. Ad esempio, in questo modo si può ottenere uno spazio connesso da uno avente due componenti connesse.
- In generale, se A è un sottoinsieme di uno spazio topologico X, si costruisce uno spazio quoziente che "identifica A ad un solo punto" mediante la relazione di equivalenza a ~ b se e solo se a e b sono elementi di A. Tale spazio viene talvolta indicato con X/A
- Consideriamo X = R l'insieme di tutti i numeri reali, e poniamo x ~ y se e solo x−y è un intero. Lo spazio quoziente X/~ è omeomorfo al cerchio S1 tramite la mappa che manda la classe di equivalenza di x su exp(2πix).
- L'esempio precedente può essere esteso in dimensione arbitraria. Consideriamo X = Rn e poniamo x ~ y se e solo se le i-esime coordinate dei vettori x e y differiscono di un intero, per ogni i. Lo spazio quoziente è omeomorfo al toro se n = 2, ed è chiamato toro n-dimensionale per n qualsiasi. Il toro n-dimensionale è omeomorfo al prodotto di n cerchi.
- La bottiglia di Klein può essere ottenuta quozientando il piano
tramite una opportuna relazione di equivalenza.
- Il nastro di Möbius può essere ottenuto quozientando un rettangolo tramite una opportuna relazione di equivalenza.
- Lo spazio proiettivo è ottenuto quozientando uno spazio vettoriale privato dell'origine tramite la relazione seguente:
se e solo se esiste
tale che
, cioè
e
stanno sulla stessa retta.
- Se X soddisfa qualche assioma di separazione, lo spazio quoziente X/~ può non soddisfarlo. Ad esempio, X/~ è T1 se e solo se ogni classe di equivalenza di ~ è chiusa in X.
Poiché la proiezione sul quoziente è continua, la topologia di quest'ultimo eredita alcune proprietà dello spazio iniziale. Quindi:
- Edoardo Sernesi, Geometria 2, Torino, Bollati Boringhieri, 1994, ISBN 978-88-339-5548-3.
- Czes Kosniowski, Introduzione alla Topologia Algebrica, Zanichelli, 1988, ISBN 88-08-06440-9.
- (EN) Stephen Willard, General Topology, Reading, MA, Addison-Wesley, 1970, ISBN 0-486-43479-6.
- (EN) quotient space, in PlanetMath.
